2 (8) 2

73

Granica funkcji

definicji). Prócz tego, jeśli nawet p e £, to całkiem możliwe, że/(p) -A lim/(x). Definicji

x-*P

tej można nadać inną formę wypowiadając ją w terminologii ciągów.

4.2.    TWIERDZENIE. Niech X,Y,E,f i p oznaczają to samo CO W definicji 4.1. Wówczas-

(4)    hm/(x)' = q

x-p

wtedy i tylko wtedy, gdy

(5)    lim/(p_B) = ą

n-*m

dla dowolnego ciągu {p_n} takiego, że

(6)    p„ / p, lim p„ = p, p„e E dla wszystkich n.

Dowód. Przypuśćmy, żę jest spełniona równość (4), Wybierzmy ciąg {p„} spełniający (6).. Niech dane będzie e > 0. Wówczas istnieje 8 > 0 takie, że d_Y(f{x), q) < e, jeśli x e E i 0 < <d_x(p, x) < 8. Prócz tego istnieje N takie, że dla n > N mamy 0 < d_x(p_n,p) < 8. Stąd, dla n > N, mamy d_Y(f(p_n), q) < e, skąd wynika, że zachodzi (5).

Odwrotnie, załóżmy, że (4) nie zachodzi. Wówczas istnieje liczba e > 0 taka, że dla każdego 8 > 0 znajdziemy punkt x e £ (zależący od (5), dla którego d_Y(f(x), q) > e, ale 0 <d_x(x, p) < 8. Wybierając 8„ = 1/n (n = 1, 2,...), znajdziemy ciąg spełniający (6), dla którego nie zachodzi (5).

Wniosek. Jeśli/ ma granicę w punkcie p, to jest to jedyna granica.

* Wynika to z twierdzeń 3.2 b) i 4.2.

4.3.    Definicja. Niech na £ będą określone dwie funkcje zespolone fi g. Symbolem/+g oznaczamy funkcję, która każdemu punktowi x zbioru £ przypisuje liczbę/(x)+g(x). Podobnie Zdefiniujemy różnicę f—g, iloczyn fg i iloraz //g dwóch funkcji, pamiętając, że iloraz jest zdefiniowany tylko dla tych punktów x ze zbioru £, gdzie g(x) ¥= 0. Jeśli/przyporządkowuje każdemu punktowi x zbioru £ tę samą liczbę c,to / nazywamy funkcją stalą lub po prostu stalą i piszemy / = c. Jeśli / i g są funkcjami rzeczywistymi i jeśli/(x) > g(x) dla każdego x e £, to czasem piszemy dla krótkości/ > g.

Podobnie, jeśli f i g odwzorowują £ w R^k, to definiujemy f + g i f • g przez

(f+g)(x) = f(x)+g(x),    (f-g)(x) = f(x)-g(x),

a jeśli J jest liczbą rzeczywistą, (Af) (x) — A f(x).

4.4.    TWIERDZENIE. Niech X będzie przestrzenią metryczną, E c X, p jest punktem skupienia zbioru E,afig są funkcjami zespolonymi określonymi na E i

lim/(x) = A, lim g(x)== B.

Wówczas

a) iim(f+g)(x) = A+B;