skanuj0033 2

ANALIZA MATEMATYCZNA sem. 1. EGZAMIN (2.02.2011)

Imię i nazwisko

grupa

1.    Sformułować twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Uzasadnić zbieżność ciągu:

1 1 1

a„ =-+-+......+ — .

n+\ n+2    2n

2. Sformułować i udowodnić twierdzenie Rolle'a. Sprawdzić, czy funkcja f(x) = sin(/T X), X G    l,l)

spełnia założenia tego twierdzenia. Wskazać na rysunku punkt, o którym mowa w twierdzeniu.

3.    Sformułować twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy'go:

y'=f(x,y)

[y(x₀) = y₀

y'= 2x(x² + >>) spełniającym warunek początkowy y(\) = \ jest funkcja v(x) = 3e^x 1 - X² -1.

_r/ .    1 x

4.    Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji / (X) — — +

Korzystając z tego twierdzenia uzasadnić, że jedynym rozwiązaniem równania

x arctgx >) J*e"'^v cos 2xdx

6. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = Xy[y -y + 6.v-x² + 8

5. Obliczyć całki: a

)/■

£.

x +1

dx