skanuj0034 2

grupa

ANALIZA MATEMATYCZNA sem. 1. EGZAMIN (8.02.2006) Imię i nazwisko_

1.    Korzystając z twierdzenia o wartości średniej wykazać, że jeżeli funkcja/jest ciągła na przedziale <a,b> i ma pochodną w (a,b) oraz (V* E (a, bj) f'(x)>0,to/jest funkcją niemalejącą na (a,b). Sprawdzić

monotoniczność funkcji f(x) = In x + V3 + x²

2.    Wyznaczyć równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie najniższego

rzędu, jeżeli liczby = 0, X₂ = 1,    = 2 są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tego

równania. Sprawdzić, że funkcje: y_] (x) ='l, y₂ (x) = e^x, y₂ (a:) = e^2x tworzą fundamentalny układ rozwiązań tego równania.

3.    Podać definicję gradientu funkcji. Wykazać, że gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego

_x²    y

wzrostu funkcji. Znaleźć ten kierunek dla f(x) =---^w punkcie P_Q = (l,l).

y X

\ + X

4.    Znaleźć ekstrema lokalne oraz punkty przegięcia wykresu funkcji f (x) = Irl —- | + 4arcctg\

5.    Określić wartość funkcji f(x) = {tgx)^g2x w punkcie x_Q = — tak, aby funkcja/ była ciągła w tym

4

punkcie.

6.    Obliczyć całkę f e^2cosx sin 2x dx