8 2

ANALIZA MATEMATYCZNA sem. 1. EGZAMIN(02.02.2012)

grupa

Imię i nazwisko

1. Podać definicję pochodnej cząstkowej funkcji wielu zmiennych. Znaleźć pochodne cząstkowe funkcji

M=(0,0)

0    (x,y) =

oraz wykazać, że funkcja/ nie jest ciągła w punkcie w (0,0).

2.    Sformułować i udowodnić lemat Fermata. Podać przykład funkcji, która ma pochodną równą zero w pewnym punkcie, ale nie osiąga w nim ekstremum.

3.    Wyznaczyć równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych rzeczywistych współczynnikach, jeżeli liczby /Ij = i, A2 ⁼ 0 są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tego równania. Sprawdzić, że funkcje: y_l (x) = 2, y₂ (x) = sin x, y₃ (x) = cos x tworzą fundamentalny układ rozwiązań otrzymanego równania.

4.    Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f{x, y) = e~^x (y² - 2x).

5.    Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x) = ljx² (x — l).