DSC00326

grupa

Imię i nazwisko

I. Podać definicję pochodnej funkcji. Zbadać z definicji istftiehić pochodnej funkcji/w punkcie jcp = 0 , jeżeli funkcja / określona jest wzorem

cos2x+x \

ni

dla * < 0 dla x B Q"

dla xPQ

arctg—^-+x+\

2. Sformułować twierdzenie o wartości średniej (Lagrange'a). Korzystając z niego uzasadnić nierówność: Vjce (O, — \ ] ln(l+sin² x)&xsin2x

3.    Wyznaczyć równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie najniższego rzędu, jeżeli wiadomo, że funkcje ^ (x) = e^x, y₂(x) = X są rozwiązaniami tego równania. Znaleźć rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe: y(0) g4, y'(Q) = 3, y"(0) = 2.

4.    Wyznaczyć ekstrema lokalne i zbadać monotoniczność funkcji f(x)=łn{p* -3x)

5.    Obliczyć całki; a)jx^2-x² dx b)

6.    Wyznaczyć wersor v wskazujący kierunek, w którym pochodna kierunkowa — (2,-l) funkcji

dv

f(x, y)-e^x *^3y ma wartość zero.