984 egzaminAzG

1

ICH JVB - Egzamin! Algebra) Luty 2004

Grupa	Imię	Nazwisko	Zadl	1 Zad2 2,ad3	“ f ^ * 8 Zad4 ( Zad5 jj
		Tj*ntniittin»"Uw.jrnTn . -««•. . .r^-111,..^	J =T..		1 * LA 1

Zadanie l. ^    /

Dane są wektory i’i =MTk4*iU), ^vz = (0,-1.0^)0'* = (2,0,-1,0), oraz W - (5,4,0,2) w K⁴.

(a)    Sprawdzić czy le wektory tworzą^k£ad ortogonalny, i jeśli nie, łoje zortogonalizować stosując procedurę Grania-Schmidm Wyjaśnię, dlaczego otrzymany układ wektorów stanowi bazę dla przestr^HSlA.

(b)    Wyznaczyć wsjjjyfżęclne wektora v - (0,2,5,8) Względem bazy (ortogonalnej) otrzymanej y^poffkcie (a).

Zadanie 2

W przestrzeni Ma((3 x 3,M) wszystkich macierzy rzeczywistych 3x3 rozważamy podzbiór W zlozony ze wszystkich macierzy antysymetrycznych, tzn macierzy postaci

0 b c

A =

-b 0 e

~e 0

. gdzie a, b, c.d,ej e R.

—»

(a)    Sprawdzić, że /)'jest podprzestrzeiuą wektorową rozważanej przestrzeni.

(b)    Podać wymiar tej podprzestrzeni oraz przykład bazy dla niej. (uzasadnić)

Zadanie 3.

3

->

Wyznaczyć wymiar i bazę jądra ker T, przekształcenia liniowego T : ]R'^ł rI\x_ty,z, w) - {x -y-2z + 4u', 2.y - 3>' - z 4- 10»r,-x 4 5z - 2u). Obliczyć (Jim Im 7\ tzn. wymiar obrazu przekształcenia ?'.

Zadanie 4

Rzecz)*wista przestrzeń wektorowa Kjest rozpięta na funkcjach 1,a\a“,4 - 5.v², oraz x³, tzn V « l.in(1, x, x²,4 - 5x², x.³).

(a)    Wyznaczyć wymiar i bazę przestrzeni V.

(b)    Wyznaczyć względem bazy wyznaczonej w punkcie (a) macierz przekształcenia liniowego?’: /'-•> l\ określonego wzorem (Tj)(x) = -^-/(a-) - 4f(x).

Zadanie 5

	-4 3 24		” 1 “		3
Dana jest macierz A =	-6 5 18	i wektoiy Vi =	1	, v2 =	0
	0 0 4		0		1

(a)    Sprawdzić, ze wektory ij, v₂ sa wektorami własnymi dla macierzy A i

wyznaczyć odpowiadające im wartości własne.

(b)    Sprawdzić, że liczba X - 2 jest wartością własną dla macierzy A i wyznaczyć

odpowiadający jej wektor własny.

(c)    Zdiagonalizować macierz A, tzn. wyznaczyć taką macierz I* (odwracalną)

i taką macierz diagonalną A. że ł*~^]AP ~ A.