Skan1

16.

16.

dereń Integral

-2

r,    -s    *    \    X²    X²    l(^X_5)³

| x+2h---1--dx =--i-2x-21n|x + l| + 31n|x-5] + C =--b2x + ln^-—- + C

\ x + l x-5)    2    I I I l    ₂    (_x+1 )²

anhand der bekannten Regeln angegeben werden kann. Das Integral

W

dx

Ąx-xf

Der Integrand ist eine echt gebrochene rationale Funktion mit einer einfachen Nullstelle x₂ = 1 .Fur die Partialbruchzerlegung machen wir den Ansatz

x(x-l)‘' x x — 1    (x-l)²    (^r-l)

1 = A (x -1)³ + i?x(x — l)² + Cx(x -1) + Dx

(1)

(2)

Zur Ermittlung der Konstanten A und D bedienen wir uns der Grenzwertmethode. Die Annahme x -> 0 liefert.

A=-1

und fiir x -> 1 erhalt man

D = 1.

Die Konstanten B und C werden dagegen mit Hilfe der Methode des Koeffizientenvergleichs gefunden. Zu diesem Zweck wird (2) umgeformt zu

1 = (A + B)x³ +(-3A-2B + C)x² +(3A+B-C + D)x-A

Der Koeffizientenvergleich bei den Potenzen i³und x² fuhrt zum linearen Gleichungssystem

jA+B = 0=>B = —A = 1

|-3.4-2B + C = 0 => 3.4 + 2B = 3-(-l)+2 = -1

Setzt man die bestimmten Konstanten in (1) ein, so nimmt /₂ die Form

an.

'■-jf+ih-Er

+

dx