Skrypt

Jeżeli funkcja ih f(x) jest funkcją okresową o okresie co, aeR\{0}, to funkcja x<-> f(x)-a oraz funkcja x J-> af (x) mają ten sam okres, natomiast funkcja x f(ax) ma

okres

M

Aby sporządzić wykres funkcji okresowej, wystarczy' narysować go dla argumentów z dowolnego przedziału o długości co a następnie „powielić” na prawo i lewo od tego przedziału. Podobnie, aby podać funkcję okresową wystarczy zadać jej wartości na takim przedziale. Najbardziej znanymi funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne.

Okres podstawowy funkcji sinus i cosinus wynosi 2,t , a funkcji tangens i cotangens n.

Przykład 1.9.

Które z funkcji f g, h. k są okresowe⁹ Wskaż ich okresy podstawowe, o ile istnieją.

a) /:R'->R    , x i-> sin*

b)    g: xh-> cos8x

_w ^: . 1 ^:

c)    n. sin — x

2

x> o

d) t.R R

Rozwiązanie

Funkcje f i k mają z góry⁷ zadane zbiory określoności, natomiast funkcje g, h będziemy rozpatrywać w ich dziedzinach naturalnych.

a)    Funkcja f nie jest funkcją okresową, gdyż nie spełnia pierwszego warunku definicyjnego dotyczącego dziedziny. Jakkolwiek próbowalibyśmy dobrać okres co > 0 to znajdziemy takie x eR“, że x -f co ęeR'.

(Uwaga, gdyby funkcja ta była podana następująco: x i—»sinx, to rozpatrywalibyśmy ją w jej dziedzinie naturalnej, tzn. R i oczywiście stwierdzilibyśmy, że jest to funkcja okresowa o okresie zasadniczym 2.t.)

b)    Dziedziną naturalną funkcji g jest R gdyż wyrażenie cos8x ma sens dla dowolnej liczby rzeczywistej, więc pierwszy' warunek definicyjny jest spełniony dla dowolnego' co > 0. W związku z postacią funkcji g (pamiętając, że funkcja x i—> cos x jest funkcją okresową o okresie zasadniczym 2x) stwierdzamy, że funkcja g też jest okresowa. Jej okres zasadniczy'

wynosi

2 7C _ n 8

c)    Podobnie jak dla funkcji g pierwszy warunek definicji 1.9 jest spełniony.

Dalszą część zadania rozwiążemy graficznie korzystając z uwag dotyczących rysowania wykresów funkcji. Rysujemy etapami wykresy:

1

sin — x

a

. 1

x h-» sin x

x i—»sin—x ?