str10 (3)

Rozwiązanie przedstawimy zatem w postaci

x(i) = x_a(f) + x_(J(t)

(14.212)

Składową ustaloną x„(t) wyznaczamy jedną z metod rozwiązywania obwodów, uwzględniając przy tym charakter wymuszenia.

Składową przejściową x„(() obliczamy jako rozwiązanie równania różniczkowego jednorodnego otrzymanego w wyniku założenia w równaniu (14.201) u(t) = 0, czyli z równania

x_p(t) = Ax (0

(14.213)

Rozwiązanie równania (14.213) ma postać

x,(l)=e^A(,'‘.>x_J,(0)

(14.214)

przy czym x_p(0)    - wektor stanu składowych przejściowych w chwili

t = 0.

Wektor x„(0) obliczymy z równania (14,212) zakładając t = 0, czyli

x(0) = x_u(0) + x (0)

(14.215)

a stąd

x_p(0)=x(0)-x„(0)

(14.216)

W szczególnym przypadku, przy stanie początkowym zerowym, tzn. przy x(0)-0, otrzymujemy

x_p(0)= -x„(0)

(14.217)

Jak wynika z przytoczonych rozważań, rozwiązywanie równania jednorodnego jest łatwiejsze, gdyż w rozwiązaniu nie występuje całka splotu dwóch funkcji macierzowych, której wyznaczenie jest niekiedy kłopotliwe.

14.9.4. Wartości własne i wektory własne macierzy kwadratowej Na wstępie podamy kilka pojęć i twierdzeń z analizy macierzowej.

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Wtedy macierz o postaci

(14.218)

Al - A

nazywamy macierzą charakterystyczną macierzy kwadratowej A przy czym 1 oznacza macierz jednostkową a A. jest wielkością skalarną rzeczywistą lub wielkością zespoloną.

Wyznacznik macierzy charakterystycznej

detfAl — A)

który jest wielomianem stopnia n względem A nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A. Równanie o postaci

10