Zdjęcie 0085

Odwzorowanie dane przez A opisuje dynamikę populacji królików. Zakładamy, że w cyklu rozrodczym o numerze n mamy v_0i„ młodych par (samica + samiec) i starych par, a w następnym cyklu pary młode stają się stare i każda para rodzi następną. Stąd

no,n+l “ ^0,n 11 ^l,n,    ,n41 ⁼ ^O.n■

5. Dla macierzy niesymetrycznej znaleźć kolejne potęgi Aⁿ. Pokazać, że wszystkie trajektorie są okresowe.

6. Przy pomocy wykresu pajęczynowego wyjaśnić, jak wyglądają trajektorie w otoczeniu punktu stałego p układu danego przez / : R —I R klasy C¹, gdy

(i)    f'(p) > 0,

(ii)    f'(p) < 0,

(iii)    f'(p) 6 (0,1),

(iv)    f'(p) > 1,

(v)    f'(p) 6 (-1,0),

(vi)    /'(p) < -1.

7. Przy pomocy wykresu pajęczynowego opisać dynamikę układu / : [0,4] [0,4] danego wzorem

f{x) =

2x	dla	x e [0,1]
2	dla	x € (1,3)
2(x - 2)	dla	x e [3,4].

8. Niech f(x) = 4r(l —x), x § [0,1], będzie dyskretnym układem dynamicznym. Rozważmy trajektorię startującą z Xo- Pokazać, że wtedy

x„ = - (1 — cos(2" arccos(l — 2e'q))) .

9. Niech / : S¹ —* S¹ będzie układem dynamicznym na okręgu S¹ = {z S C : |z| = 1} zadanym wzorem

ftp2iriw\    Q^nix

(wystarczy brać x 3 [0,1] pamiętając, że dla x — 0 i x 9 1 mamy ten sam punkt). Opisać geometrycznie to odwzorowanie. Znaleźć punkty okresowe. Znaleźć punkty w końcu stale.

2