Zdjęcie 0086

10. W oznaczeniach poprzedniego zadania zbadać układ zadany wzorem w zależności od tego, czy A jest liczbą wymierną, czy nie.

11. Niech / :t->R będzie klasy C¹ i

limsup |/'(x)| < 1.

Pokazać, że / ma atraktor globalny.

12.    Zabadać stabilność punktów stałych dla

(i)    /(x) = (x³ + x)/2, i£l,

(ii)    /(x) = tgx, x i R \ {7t/2 + Tin : i i Z},

(iii)    f(x, y| i (4x - 2xy, 3y Mxy), (x, y) I R²,

(iv)    /(x, y) = (x - y + x², y - xy + x²), (x, y) € R².

13.    Zbadać bifurkacje układu : R —» R, n € R, danego wzorem /_M(x) = fix.

Uogólnić na przypadek pj : R² —I M², w | R,

Xi

£2

14.    Zbadać rodzaj bifurkacji układu

(i)    U(x) = nx(l - x), dla /z = 3,

(ii)    /p,(x) = fix — x³, dla l =0, i B — —1,

(iii)    /_łl(x) = 1 + x², dla n = —3/4,

(iv)    /_M(x) = psinhx, dla /i = 1,

(v)    /^(x) = /zarctgx, dla E = — 1.

15.    Dla jakich i ma miejsce bifurkacja układu /^(x) = /zsinx, gdzie x I [—7r, 7r] dla n € (0, f).

16.    W przesunięciu Bernoulliego znaleźć wszystkie punkty okresowe o okresie 3 i 4.

17.    Pokazać, że w przestrzeni fazowej przesunięcia Bernoulliego £21 każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny.

18.    Pokazać, że jeżeli w przestrzeni metrycznej X z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny (tzw. przestrzenie zwarte), to X jest zupełna tzn. każdy ciąg Cauchy’ego jest w niej zbieżny.

3