Zdjęcie 0087

19. Znaleźć wykładnik Lapunowa A (z) (dokładną wartość) dla układu trójkąt

nego:

2x    dla    x 1 [0,5]

2 — 2x    dla    x 1 (|, 1] i dowolnego punktu z S (0,1).

20. Niech / : M —| R będzie klasy C¹ i p będzie punktem stałym takim, że \f'(p)\ < 1. Pokazać, że dla wszystkich x z dostatecznie małego otoczenia p wykładnik Lapunowa A(x) = ln|/'(p)|; w szczególności jest on ujemny. Czy można sformułować analogiczne twierdzenie dla

I/'(P)I > 1?

21. Zbadać model Verhulsta opisujący dynamikę populacji jednorodnej w kolejnych pokoleniach z uwzględnieniem pojemności środowiska:

P*    ^/(x)|^TI’ ^x-°-

Jaka jest pojemność środowiska czyli wielkość populacji, dla której zasoby wystarczają? Jaki jest naturalny współczynnik urodzeń czyli prędkość wzrostu populacji, gdy zaniedbamy pojemność?

22. Zbadać modyfikację modelu Yerhulsta

f{x) =

rx²

x² + A’

x > 0.

23. Niech populacja składa się z dwóch grup wiekowych: młodych Y i dorosłych A. Indeksem n zaznaczamy liczebność w n-tym pokoleniu obu grup. Zakładamy, że

- liczebność młodych w następnym pokoleniu jest proporcjonalna do liczebności dorosłych, o ile A+X nie przekracza pojemności środowiska, i liczebność dorosłych w następnym pokoleniu jest proporcjonalna do liczebności młodych w poprzednim (wsp. proporcjonalności u < 1, ale bliski 1 odpowiada za śmiertelność młodych,

1 gdy A + X nie przekracza pojemności środowiska wybrać najprostszą ciągłą zależność.

Zbudować model

j;+i = f{A_n, Y_n), A_n+1 = g(A_n, Y_n)

odpowiednio wybierając funkcje / i g. Zbadać go. Poniżej przedstawiamy wynik z użyciem MAPLE:

>    g:=y->rho*y:

>    f :=r*x*(l-x/a):

>    salmon^procfrho.r.a^O.yO.N)

4