0000128

OOOATEK 2

HLTOOA PR0CRAM0.7ANIA DYNAMICZNEGO DLA ZBIORÓW SKOŃCZONYCH

Programowanie dynsalczne jest Jedny z aatod rozwlyzywenla niektórych zadań optymalizacyjnych. która możno sprowadzić do pewnej poatacl uaożllwlajycej zastosowania taj ust ody. Chodzi tu alanowlcla o tak zwany postać zadania starowania*optymalnego, gdzla wyróżnia się abstrakcyjny zbiór stanów pownsgo układu, zbiór dopuszczalnych sterować 1 tak zwana atapy procesu starowania. Ponadto, dla zastosowania astody prograaowanla dynamicznego, zadania starowania powinno być tak sforaułowane, aby spełniony był warunek Dellaana, zwony zasady optynalnoócl Oellaana.

0.2.1. Zadanie atarowanla optyaalnago

Zadanie atarowanla optyaalnago dla zbiorów skończonych aa w ogólnych zarysach postać nastypujycy:

Dony jaat skończony zbiór X stanów pewnego układu eterowa-nsgo. W zbiorze tya zadane sy dwa stany i x^p stan poczytkowy 1 *^k - pożydany etan końcowy układu, który ausl być oelygnlyty w wyniku pcwnsgo clygu sterowań. Starowania ausl odbywać sly etapowo, to znaczy sy okreólone 1 ponumerowana atapy starowania, a każdy 1-ty etap określony jest zbloraa dopuszczalnych stanów na poczytku tego etapu X^dop oraz zbloraa dopuszczalnych starować

^Udop<^Ki) ^dl* ^k*^td#B° *t*nu € X^dop.

Załóżmy dla uproszczenia zapisów,' żs zbiory X^dop dla róż -nych etapów ay rozlyczno. w wyniku zastosowania pewnego atero -wanla u^C    przy stanie x_A € xj?^op żalenia sly stan ukła

du na pewien etan x^_r nalozycy do X^d°^p etapu o numerze i+r, gdzie r>l. Układ przechodzi zatea do 1+r-tego etapu sterowania. W azczególnya przypadku gdy r ■ 1, układ przechodzi do następnego 1+1 etapu sterowania, gdzla 1, i+r oznaczajy numery etapów według numeracji clygu wszystkich możliwych etapów rozwalanego zadania.

2S4

Przy czym Jeżeli x € X?

ex^d°P

dop

; r > i,

W wyniku realizacji konkretnego dogu oterowań, okreAlojo-cego konkretny clog kolejnych stonów układu, otrzymujemy clog kroków eterowonio {(*₀*^u0)} • Otrzymony clog kroków eterowonlo wyznaczę powlon podcięg reellzowonych etapów dogu wozystkich możliwych etopów. Elementy tego podclogu ponumerujemy za pomoco lndokeu e. Tek więc .w wyniku konkretnoęo oterowania mogo być omijane niektóre z możliwych etapów i liczba kroków aterowonle może być mniejsza od liczby wszystkich możliwych etapów. Zmiano etonu x_# na kolejny otan x_#4l pod wpływem zaatosowonego etero -wonią u₆ okreóla pewno funkcje g(*_#*^ue) opioujoca mechanizm zmian otanu sterowanego układu

^xed-8(^Xs*^U.)    (0.2.1)

^{1 u}a^{C U}dop(^xi>    ^t0

Z każdo zmiano stanu określono wyrażeniem (D.2.1) wioże olę pewien zysk (otrato) wynikajocy z zastosowanie sterowanie u_B przy atonio x_fi. Zysk ten opiouje funkcja

VV^ue>    (0.2.2)

określona dla każdego x_fle X oraz u^e U_dop(x_#). Będziemy rozważali takie zodonie eterowonio optymalnego, dla których całkowity zysk (strata) uzyskiwany w wyniku zastosowonia dogu sterowań U ■ (u_#) przoprowadzajocego stan poczotkowy ukłodu x^P w stan

końcowy x w pewnej liczbie kroków e ■ 1,2.....m(lł) jest równy

euaie zysków częstkowych *,(*,»“,) P° wszystkich zrealizowanych krokach oterowania cioflu {u_#) . Ton sumaryczny zysk oznaczony Jako

m(\J)

^(0) ■    f_e(*_#»u_#)/    ^ " (^ui^#u2 * * * * *^ua * * * * ^,um(U))    (0.2.3)

atonowi funkcję colu zadania eterowanlo optymalnogo.

Funkcjo F(u) w pootoci (0.2.3) nazywana jest addytyw-ⁿ* funkcjo celu zodania sterowania optymalnego. Oeżoli Ustalimy, żo chodzi o maksymalizacjo funkcji colu, to zadanie noże być sformułowone noetępujocoj

o*l i+r

255