026(1)

6)* Przekształcamy mianownik korzystając z następującego wzoru na sumę kwadratów' kolejnych liczb naturalnych

l»₊₂.₊₃.₊ ... +„> ₌ ■»fr+l)(2»+l)

6

wtedy

•SS. l²+2²+3²+ ... +«^{2 hm}

- lim

_ 6+_

«0z+l)(2«+l)

H)H

= 3

Wyznaczyć granice:

.. 6x^2+5x—1 ’ 3x^2—x+l	75. lim
76. .im >'^4+'	77. lim
	x-+—co
™ r ^10"-^2 ^7Ł+” lOSi+5	79. lim /!—►*}* CO

1 -X'—A

x³+3

l+y^-l

.v

n²— 1

»-►+<» 1 + 2+3+ +n

ITT. Przypadek, gdy dla x -> a lub x -* oo funkcja f(x) staje się iloczynem wielkości nieskończenie malej i wielkości nieskończenie wielkiej (przypadek 0 • oo).

Ten przypadek wyznaczania granicy, dzięki odpowiednim przekształceniom funkcji, można sprowadzić do jednego z przypadków, już rozpatrzonych, czyli do przypadku -jj- albo ^.

1) lim(l— x) tg -    2) lim

“(-H

lim* | ^ + arc tg *j

cosec |— 7i^J!-x J

80. Wyznaczyć granice: nx

3) lim x arc ctg x 4) lim

AT-y-f CO

Rozwiązanie. Po stwierdzeniu, że przy podanym przebiegu argumentu badana funkcja jest iloczynem wielkości nieskończenie małej i nieskończenie wielkiej (przypadek 0 • oo), przekształcamy ją na ułamek, w którym licznik i mianownik dążą jednocześnie bądź do zera, bądź do nieskończoności.

,, _x •    71X

(l — *)sin a-

7tX    L

nx

1) lim (1 — x) tg = lim —

cos

lim sin ^ lim

1 •—x

= 1 • lim-

cos

.    / 71    71X \

^sm (t “ t)

= —lim

71

sin

-(I-*)

-=²-.₁₌² 71

71

Można też postąpić inaczej, odpowiednio obierając nową zmienną. Podstawiając mianowicie 1— x = a, otrzymamy

lim (1 -x) tg ^ = lim tg [\-    =

*->1    £    cc->0 y £    £ J

a cos-^-

7W.    2    cc

= lim a ctg — = lim------    = lim cos • lim-—

¹    sin    ^z    sin -¹—

= 1    -—lim

71

7ia

710.

sin -

i2

2

71

51