055(1)

a więc dla h = y, mamy

rffe ₌ 0,004g    / m \

dt ~~ 3tiR²    (sek|

269. Prędkość ruchu prostoliniowego ciała jest wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z przebytej drogi (jak np. przy swobodnym spadaniu). Dowieść, że ruch odbywa się pod działaniem stałej siły.

Rozwiązanie. Według prawa Newtona siła F, powodująca ruch, jest wprost proporcjonalna do przyśpieszenia

W zadaniu założyliśmy, że^ = 2[/s, skąd różniczkując znajdujemy

cPs A ds A . A²

~dF~2_]/j"dF~2V7 ^]S~ 2

Zatem działająca siła jest rzeczywiście stała i równa F — -y.

270. Prostoliniowy ruch drgający punktu podlega prawu: x = A sińcu t. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie punktu w chwili t = —. Dowaeść, że

przyśpieszenie ruchu jest wprost proporcjonalne do wychylenia x.

Rozwiązanie. Wyznaczamy prędkość v i przyśpieszenie w ruchu w dowolnej chwili t

d²x

W

Aco² sinwt

d.x

v = —— = A co cos co t, w = dt

Dla t — —, mamy v = Aco, w = 0.

Porównując wyrażenia dla przyśpieszenia w i wychylenia x, widzimy, że różnią się one jedynie o stały czynnik, gdyż w = —co²x.

271.    Podczas reakcji chemicznej tworzy się pewna substancja, której ilość Q zmienia się wraz z czasem następująco: Q — a(\-{-be~^m). Obliczyć szybkość reakcji.

272.    Punkt porusza się po paraboli y = 5—X² w taki sposób, że jego odcięta .v zmienia się z czasem wg prawa: x = at². Jaka jest prędkość zmian rzędnej punktu?

273.    Promień kuli r (cm) rośnie jednostajnie z prędkością 2 cm/sek. Z jaką prędkością rosną pole powierzchni i objętość kuli? Jaką wartość przybiorą te prędkości w chwili, gdy r osiągnie wartość 10 cm?

274.    Ruch punktu po osi Ox określa wzór x = (/—2)^: e~‘. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie ruchu oraz moment czasu, w których kierunek ruchu zmienia się na przeciwny.

275.    Punkt materialny o masie m wykonuje ruch drgający wzdłuż osi Ox, przy czym w chwili t jego wychylenie od położenia równowagi wynosi x = Ae~^a‘ cos(at \-b). Obliczyć prędkość punktu oraz siłę działającą na ten punkt.

§ 13. Różniczka funkcji

Z definicji pochodnej y — lim - - i z definicji granicy wielkości zmiennej

U.t—0 ^Ax

wynika, że ~ = y'-\t, lub Ay = y'.\x \-rAx, przy czym £ -> 0 dla/lx->0;

zatem przyrost funkcji składa się z dwóch części.

Główna część przyrostu funkcji y=f(x), liniowa względem przyrostu zmiennej niezależnej, nosi nazwę różniczki funkcji i jest oznaczana symbolem dy

• dy = y'Ax

Różniczka zmiennej niezależnej równa się jej przyrostowi: dx = Ax. Wobec tego

dy = y'dx    (a)

czyli różniczka funkcji równa się iloczynowi pochodnej funkcji przez różniczkę zmiennej niezależnej.

Pochodna y' dowolnej funkcji jest funkcją tylko zmiennej x, natomiast różniczka dy jest funkcją dwóch wzajemnie nie związanych zmiennych x i zl.v.

Wyznaczanie różniczki funkcji nazywa się różniczkowaniem, tak samo jak i wyznaczanie pochodnej, co tłumaczy się tym, że aby znaleźć różniczkę jakiejkolwiek funkcji, musimy zgodnie z wzorem (a) najpierw' obliczyć pochodną tej funkcji, a następnie pomnożyć ją przez różniczkę zmiennej niezależnej.

Wzór (a) zachowuje swą ważność także i w’tedy, gdy y jest funkcją złożoną, np. gdy x jest funkcją zmiennej t.

113

8 Metody rozwiązywania zr.dnó