100 35

78

Iloraz

(3.1)

AP AF

oznacza średnią gęstość sil wewnętrznych na powierzchni AF. Gęstość ta będzie tym bliższa rzeczywistej, im mniejsze będzie AF. Gęstością sil wewnętrznych w punkcie A będzie zatem granica ilorazu (3.1) przy AF-+0 z zachowaniem punktu A. Granicę tę oznaczymy przez p:

(3.2)

Rys. 3.1

Ponieważ AP jest funkcją r i r+Ar,, przeto gdy AF-*0, wtedy Arj-»0, a więc naprężenie staje się funkcją wektorową dwóch wektorów r i v, co zapiszemy

(3.3)

p = p(r> *).

1,2. Stan naprężenia w ponkdc

Stanem naprężenia w punkcie r = r₀ nazywać będziemy zbiór wektorów naprężeń, przyporządkowanych wszystkim płaszczyznom podziału bryły, przechodzącym przez dany punkt o wektorze wodzącym r₀. Innymi słowy sianem naprężenia w punkcie nazywać będziemy funkcję wektorową p =* p(r₀, e) *= p(p).

IJ. Macierz naprężeń

Załóżmy, że będziemy dokonywać przekroju bryły tylko płaszczyznami prostopadłymi do osi .Tj i oznacza to, że ustalamy wektor normalny do płaszczyzny v = v_t. Jedną z tych płaszczyzn ilustruje rys. 3.2 a. Naprężenie przy tego typu przekrojach staje się funkcją

wektorową tylko wektora wodzącego punktu — lub fonkgą wektorową trzedi 4ukmtm (Xi, x₂₁ x₃), będących współrzędnymi wektora wodzącego, Funkcję tę oznaczymy przez pji

Ri »Pi(r,f- »i)- yi(r).

"Współrzędne funkcji wektorowej jp* oznaczymy następująco:

Rys. 3J2

Współrzędne <r,j są oczywiście funkcjami skalarnymi trzech skalarów jr„ x₂, x„ tzn. ojy m o_xfe\* x₂,x₃).. Zwróćmy uwagę, że pierwszy wskaźnik każdej współrzędny 'jest wskaźnikiem p, drugi zaś wskaźnik oznacza kolejną współrzędną.

Umówmy się teraz, że płaszczyznami podziału będą płaszczyzny prostopadle do osi x₂, a więc ich wektor normalny v =. v₂ będzie^ równoległy do osi x₂ (rys. 3-2b). Funkcję (3.3) przy ustalonym *= »₂, oznaczymy przez p₂, etyli

p₂ m p(r»» - O * fzW i

a jej współrzędne przez <r*y =    , x₂, x₃), czyli.

Pafoi.tfaj.tfaj)*    (³-$>

Znaczenie wskaźników przy współrzędnych jest analogiczne jak w poprzednim przypadku.

Przy przecięciu bryły płaszczyznami prostopadłymi do osi x₃ (rys. 3.2 c) będziemy midi odpowiednio

Pi * P(^r> • ^m *s) I Pafr) I

C¹⁶)

gdzie o_3J ■* tr₃/x₁,.r₂,x₃).

Współrzędne naprężeń p_t, pi i m przyporządkowanych płaszczyznom o normalnych zewnętrznych odpowiednio •«, § i «i przechodzących przez ten sam punkt IH .Zj.Zj)