100 39

86

Zgodnie ze wzorami (3.16) mamy:

Rys. 3.7

Skoro za pomocą wzorów (3.16) łatwo jest określić stan naprężenia w każdym punkcie, jeśli tylko znamy w tym punkcie macierz naprężeń, więc nasuwa się drugi wniosek: Do określenia sianu naprężenia wystarcza znajomość macierzy naprężeń w każdym punkcie, a więc znajomość sześciu funkcji <r_v =» a^x_ltx₂,xj).

Równania (3.16) możemy zapisać w postaci macierzowej

M	f^ffit» °ia» firn	M
M	^83 l^aif ^an* °ii I	M*
w	\flfi *sa» °ssj	Isp
			(3.18)

Z zapisu (3.18) odczytujemy, że maderz naprężeń jest tensorem drugiego rzędu. Zgodnie bowiem z definicją, tensorem o Walencji dwa nazywamy macierz, która pomnożona przez wektor daje w wyniku wektor. Ten fkkt, że macierz naprężeń jest tensorem, ma dla nas ogromne praktyczne znaczenie, ułatwia bowiem analizę stanu naprężenia w punkcie i pozwala wykorzystać cały formalny aparat rachunku tensorowego.

f7

1.7. Transformacja macierzy naprężeń da innego ritibda

Powtórzmy, macierz naprężeń jest zbiorem współrzędnych trzech funkcji wektorowych p_t, p_2t p_it które otrzymaliśmy przecinając bryłę płaszczyznami prostopadłymi kolcjao do osi Xj, x₂, x₃. Macierz naprężeń

(*u» *»• *»»\

0*1, «is#    •

I®S1* *M» *11/

jest więc zależna od układu współrzędnych, czyli jest ona określona w układzie CO (rys. 3.8a). Gdybyśmy bryłę przecięli trzema innymi płaszczyznami odpowiednio prosto-

o)    b)

Rys. 34

padłymi do osi ortogonalnego układu (xj,x₂,xi) (rys. 3.8b), wówczas każdej z tych no-wych płaszczyzn będą przyporządkowane wektory naprężenia odpowiednio Pi, Pi> P> których współrzędne w    (x/) zapiszemy w postaci macierzy

(*«» °ti>

Ojj, ff«i Oli 11

o'n, Osi, 0nj

Nasuwa się teraz pytanie; czy można obliczyć elementy macierzy Tj, czyU o_w, jdi dana jest macierz T_m, to znaczy dane są o_v i określone jest położenie nowego układa 991 Hfl dzie starym (x,)? Odpowiedź jest natychmiastowa, macierz T, jest tensorem, wobec