100 50

108

Na ściance X, ■ +-, wobec a_r, = 0, o*, = o, a_M = 1 oraz q_n =* Qn ^m Qn — ⁰ nunyr:

108

W podobny sposób potrafimy wypisać statyczne warunki brzegowe na pozostałych ściankach.

Funkcje oij =    x„ Xa), które znajdziemy dla rozpatrywanej bryły, między innymi na podstawie

równań (3.45), muszą więc być takie, aby spełniały wypisane warunki brzegowe w każdym punkcie na powierzchni bryły.

Przykład 2. Dane aą: bryła w postaci nieskończonego klina, obciążona jak na rys. 3.18, oraz czteropara-metrowa rodzina macierzy naprężeń:

®u =    = On = Oj a_u ■ cx,+dx_t,

a_n ■ —dx_t—ax_t+yx„ cr_M — ax_t+bx_%,

♦

(y—ciężar objętościowy materiału klina). Należy określić parametry a, b, c, d tak, aby spełnione były statyczne warunki brzegowe.

Łatwo się przekonać, te dla dowolnych parametrów spełnione są równania Naviera. Statyczne warunki tezsgowe (3.47) przyjmują postać:

— na ściance O ABC o równaniu x, — 0 wobec ■ 0, a,, =» 0,Op,= l,q_n = 0, q_n~ 0,g_n ^m

Jest

0 ■» 0+0+0,

0 ■ 0+0+(—</•(>—ojt,+/**)• 1,

—qx_t ■ 0+0+(fl-0+6xJ-l;

Ponieważ warunki te powinny być spełnione dla każdego x_t, przeto musi zachodzić: a « y, ó

— n» ściance O A DE o równaniu x, - -x_tlga, wobec «n-«, -tiw, q_n - <7n - ?pi - 0 mamy:

o - 0+0+0,

o - 0+[c(-x,lga)+(k,J-(-sino)+l-«f(-ar,|g_<l)__aXł+7^,(__co5^_>

0 - 0 + l-</(-x,tga)-ax,+-/x,I-(-tin'i)+lfl(-,_ti_ło) + t.x_łV<-ci>i«).

Konieczność spełnienia tych warunków dla każdego z, prowadzi do ■*>«*■ dwóch rómnś K n&tfm na 6 i d. którego rozwiązanie po uwzględnienia o ^m y i 4 ■ -q jest

d - ytga+g/t^a, c - lytga+ę,ig*a.

Wypisujemy statyczne warunki brzegowe na ścianach x, - 0 i x, - -h i stwierdzamy, że wanadu te aą spełnione dla dowolnych wartości parametrów a, ó, c, d. W rezultacie macierz    która •?-**•-* rów

nania równowagi i warunki brzegowe przyjmuje postać

<r_M

^au ^m °u ^m <>u — ®,

ytgo+ą

-^-Ox_ł+x_łtga),

ytga+9

^a“ --71—**•    = '/x_t-qxt.

tg*a

Na zakończenie tego przykładu warto zwrócić uwagę, że spełnienie przez dcaacaty macierzy naprężeń równań Naviera oraz statycznych warunków brzegowych nie wcale, że macierz przedstawia rzeczywiste naprężenie w bryle, jest to jedynie — jak się później przekonamy — warunek konieczny, ale nie wystarczający.

§ 3. Równania geometryczne

W dotychczasowych rozważaniach przyjmowaliimy_tzw. zasadę zesztywnienia. Nb oznacza to wcale, że bryłą nie deformuje się pod wpływem przyłożonych sit, ani też, te me będziemy tej deformacji analizować. Zgodnie z definicją zasady zesztywnienia, tylko przy obliczaniu reakcji i sił wewnętrznych mogliśmy pominąć deformację, uznając jej wpływ na te wielkości za pomijalnie mały.

3.1. Pole wektorowe przemieszczeń