10 (18)

Zadania

169

14. Niech/(x) = (*- |xft² na <-it, it>. Wykazać,ie

it^J V 4

■^jCnanx

i wywnioskować stąd, że

n

GO

(Niedawny artykuł E. L. Starka zawiera wiele informacji o szeregach postaci gdzie sjest liczbą naturalną. Zobacz Math. Mag. vol. 47,1974, str. 197— 202.)

15. Dla X>„ określono jak w (77), połóżmy K„(x) ■= —₊ - J D_n(x). Udowodnić, że

15. Dla A

i że:

dla 0 < <5 ^ |x] $ 7t_t

1 2

c) K_n(x) < —— • -- dla 0 <

^N N+1 1 — cos ó

Niech s_N — s_N(f;x) oznacza N-tą sumę częściową szeregu Fouriera funkcji / Rozważmy średnie arytmetyczne

. Wykazać, że

^ffK =

So+S, + ...+ S_w

N+l

K

a stąd wyprowadzić twierdzenie Fejera:

Jeżeli f jest funkcją ciągłą, okresową z okresem 2 it, to    x)-*/(x) jednostajnie na <— it, n).

Wskazówka. Wykorzystać własności a), b) i c) w taki sposób jak w dowodzie twierdzenia 7.26.

16. Wykazać „punktową” wersję twierdzenia Fejćra:

Jeżelif £ 31 oraz/(x+),/(x-) istnieją dla pewnego x, to

17. Niech/ będzie funkcją ograniczoną i monotoniczną na przedziale^- Jt, n>, o współczynnikach Fouriera c„ danych wzorem (62).

a)    Wykorzystać zadanie 17 z rozdziału 6 dla wykazania, że ciąg {nc„} jest ograniczony;

b)    Łącząc a) z zadaniem 16 i zadaniem 14 e) z rozdziału 3 wywnioskować, że dla dowolnego x

lim,_N(/;x)=i[/(x+)+/(x-)];

c) Załóżmy, że/ 6 X na <—n,it> i że/ jest monotoniczną na pewnym przedziale (a,/?) <= (—n, k). Wykazać, że teza z punktu b) zachodzi dla każdego x e («, ff). (Jest to zastosowanie twierdzenia o lokalizacji)

18. Niech

/(x) = x³-sin^Jxtgx, g(x) = 2x^J-sin³x+xtgx.

Zbadać czy powyższe funkcje są stałego znaku czy też zmieniają znak w obrębie przedziału (0, ir/2). Uzasadnić odpowiedź.

19. Niech/ będzie funkcją ciągłą na R*,/(x+2jr) = /(x), i niech a/n będzie liczbą niewymierną. Udowodnić, że