10 (56)

207

Całkowanie

Ta definicja całki zależy a priori od porządku, w jakim dokonywano k kolejnych całkowań. Jednakże ta zależność jest tylko pozorna. Aby dowieść tego, wprowadzimy tymczasowy zapis L(f) dla oznaczenia całki (2) i Hf) dla oznaczenia rezultatu k całkowań, dokonanych w pewnym innym porządku.

10.2.    Twierdzenie. Dla każdej funkcji fe #(/*), L(f) -= L(f).

Dowód. Jeśli h(x) =    ... h_k(x_k), gdzie hj e    aj, bf)), to

mi = TT jfMĘi = Ljh).

/= la,

Jeśli A jest zbiorem wszystkich skończonych sum takich funkcji h, to L(g) = L'(g) dła wszystkich g e A. Oprócz tego A jest pewną algebrą funkcji na I^k, do której stosuje się twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.

k

Przyjmijmy V — aj). Dla f e #(/*) oraz e > 0 istnieje funkcja g e A taka, że

\\f-g\\ < e/K gdzie H/|| oznacza max|/(x)j (x e /*). Wtedy \L(f-g)\ < e, \L(f-g)\ < e i ponieważ

L(f)~ Hf) = L(f-g)+E(g-Jj_t wnioskujemy, że |L(/)-L'(/)| < 2e.

Z tym punktem związane jest zadanie 2.

10.3.    DEFINICJA. Nośnikiem rzeczywistej lub zespolonej funkcji/na R^k nazywamy domknięcie zbioru wszystkich punktów x e R^k takich, że /(x)    0. Jeśli / jest funkcją ciągłą

o zwartym nośniku, I* - pewnym k-przedziałem, zawierającym nośnik funkcji f to zdefiniujmy

(3)    \f- J/-

_Rk    jk

Tak zdefiniowana całka jest oczywiście niezależna od wyboru I^k, byle tylko l^k zawierał nośnik funkcji /.

Nasuwa się teraz myśl, żeby rozszerzyć definicję całki na przestrzeni R^k na funkcje, które są granicami (w pewnym sensie) funkcji ciągłych o zwartych nośnikach. Nie chcemy rozpatrywać warunków, przy których można tak uczynić; właściwym rozwiązaniem tego problemu jest całka Lebesgue’a. Opiszemy jedynie bardzo prosty przykład, który będzie użyteczny przy dowodzie twierdzenia Stokesa.

10.4. Przykład. Niech ęf będzie k-sympleksem składającym się z wszystkich punktów x = (x_t,..., x_k) przestrzeni R^k, dla których    ^ 1 i x, > 0 dla i = 1,..., k. Jeśli na

przykład k = 3, to $ jest czworościanem o wierzchołkach 0, e„ e₂, e₃. Jeśli/e #(0*), to przedłużmy funkcję/do i^k, przyjmując/(x) = 0 poza ęf i zdefiniujmy

J/= if

Q l"

(4)