120(1)

r

Pole S,_lABy}, w przypadku gdy cały trapez położony jest na prawo od osi Oy, dane jest całką

y»

S= J xdy    ' (2)

yi

Pole każdej figury płaskiej w układzie współrzędnych biegunowych można utworzyć z pół wycinków krzywoliniowych O AB (rys. 95).

Różniczką zmiennego pola S(<p) = S₀'_Am jest pole wycinka kołowego

o kącie środkowym dtp i o promieniu q, czyli dS = o²dcp.

Pole wycinka krzywoliniowego CAB wyraża się wzorem

•Pi

^S = Y J e²d(?    (3)

v I

611. Oblicżyć pola obszarów ograniczonych liniami:

-—-1) parabolą 4y = 8x—jc² i prostą 4y = x+6 -*-2) parabolami y = 4—X² i y = X²—2x

---"3) dwiema parabolami sześciennymi 6x = y³— 16y i 24x = y³—16y

f elipsą x = acosf, y — bsint kardioidą q — a(l-fcosęj)

—— 6) dwoma okręgami q — 2| 3 acosę> i p = 2nsin (p

Rozwiązanie: 1) Szukamy wspólnych rozwiązań obu danych równań i znajdujemy dwa punkty A |l, i B(6, 3), w których krzyw-e te,

ograniczające szukane pole, przecinają się. Sporządzamy wykres, zaznaczając na płaszczyźnie rysunku oba punkty i kreśląc przechodzące przez nie dane linie (rys. 96); stwierdzamy, że szukane pole A NB równa się różnicy pól A_lANBB_l i A.ABB,.

Pole Si trapezu krzywoliniowego A_lANBB_l przylegającego do osi Ox, na podstawie wzoru (1), wyraża się całką

Pole S_z trapezu A,ABB_t równa się iloczynowi połowy sumy jego podstaw

przez wysokość

S₂ = -^A'A+B,B _AiBi=91 ² 8

205    95    5

Wobec tego szukane pole wynosi ,S = S₁—S₂ =    ---„— = 5.

IZ    o    Z/t

Przyjmując za jednostkę długości decymetr, mamy S — 5 -Jr dcm²

y

Rys. 97

2) Znajdując punkty A(—1, 3), B(2,0) przecięcia się parabol i sporządzając wykres (rys. 97), stwierdzamy, że szukane pole Sjest sumą algebraiczną pól trapezów krzywoliniowych: S = S_AiACb+S₀bd—Sa,ao> gdzie

16* 243