161(1)

Dla boku BC mamy: x = a—y (z równania prostej BC)-, i —y, >') = u₂ = 6y²—6ay \ 3a², przy czym 0 < y < a.

T. u2 = 12y—6a: u'₂ = 0 dla y = y (punkt M₂); «₂|    =\a²-

II.    u₂(0) — u₂{a) = 3a².

III.    Najmniejsza wartość «₂00 w przedziale [0. a] jest równa ₂ a¹.

Dla boku CA mamy: x — 0, u(0,y) = u_} — 3y²—2ay^Jr2a¹, przy czym '<.)’< a.

I- iĄ = 6y—2a. u'₂ — 0 dla y = “ (punkt M₃), u_} |yj = y a².

II.    Mj(0)- = 2n², w₃(r/) = 3n².

III.    Najmniejsza wartość u₃(y) w przedziale [0, a] wynosi * a². Porównując teraz wartości u na bokach AB, BC, CA trójkąta wnioskujemy, że najmniejsza wartość u na jego obwodzie ABC A wynosi--o².

C. Porównując wartość u w wewnętrznym punkcie krytycznym K z naj-miejszą wartością u na brzegu obszaru (na obwodzie trójkąta), stwierdzamy, że spośród wszystkich wartości, jakie u przybiera w różnych punktach trójkąta ABC, najmniejszą jest wartość w punkcie źf|y, yj- Łatwo

s:ę przekonać, że punkt ten jest środkiem ciężkości danego trójkąta.

Zadanie to można rozwiązywać i dla dowolnego trójkąta, przy czym okaże się, że znaleziony punkt też będzie środkiem ciężkości.

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji:

785.    q> = x² 4-y^? — 9xy -f-27 w kwadracie 0<x<4, 0<y<4.

786.    r =3xy w kole .v²+y² < 2.

787.    Wyznaczyć największą wartość funkcji v — xy{4—x—y) w trójkącie. ograniczonym prostymi x — 1, y = 0, x-~y — 6.

788*. Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji u — sinAT+siny-f cos(x-f>’) w kwadracie 0 sC x Cl 1,5je, 0 sk y l,5rr.

789.    Znaleźć punkt trójkąta o wierzchołkach A(0,0), 5(1,0), C(0, 1), o tej własności, że suma kwadratów jego odległości do wierzchołków trójkąta ma wartość największą.

790.    Spośród trójkątów o danym obwodzie 2p, znaleźć trójkąt o największym polu (skorzystać ze wzoru Herona na pole trójkąta w zależności

od boków).

791.    Znaleźć taki punkt czworokąta o wierzchołkach (0, 0), (a, 0), (a, a), (0 2a), aby suma kwadratów jego odległości od wierzchołków była najmniejsza.

792.    Z kawałka drutu o długości / zrobić model prostopadłościanu o największej objętości.

793.    Jakie wymiary powinna mieć otwarta skrzynia prostokątna, o danej objętości V, aby jej całkowita powierzchnia była jak najmniejsza?