176(1)

W przypadku szczególnym, gdy a₂ — b₂ = O, otrzymujemy wyrażenia na momenty bezwładności pełnej jednorodnej płytki eliptycznej względem osi symetrii

I_x — — rcda_i b],    1_y - —JidbiCtl

Gdy = <7j i b, — a₂, otrzymamy wyrażenie na moment bezwładności

1 — ~nd{a\—a\) pierścienia kołowego, wzięty względem dowolnej zje-

go średnic.

Dla koła o promieniu a moment bezwładności względem którejkolwiek

zjego średnic wynosi / = ₄ ttóci*.

836. Obliczyć środek ciężkości bryły jednorodnej w kształcie ściętego graniastosłupa, ograniczonej płaszczyznami *układu i płaszczyznami x+y4-+z = 4,    1, y= 1.

Rozwiązanie. Prowadząc dane płaszczyzny (rys. 176) widzimy, że bryła zawarta między nimi jest symetryczna względem płaszczyzny x = y. W związku z tym x_c = y_c.

Rys. 176

Z kolei obliczamy całki występujące we wzorach (5) I₂ = xzdxdy = j | x(4—x—y)dxdy =

t

D    O ABC

xdx =

= - f *dxJ (4-x-y)d(4-x-y) = - j [ ⁽⁴ * ^ I ó o    o ^L    -*

XI    a

/₃ = JJ2<ixd> = fdx f (4-x-y)dy = -yJ [(4-x-f)²|'₌‘^ =

1 f    ,    1 [(JC-3)³    (*—4)³|° ♦„

- -tJ [(3-^-(4-^]^ = y[—---3 Ji ⁼ '

^ 0

Podstawiając obliczone wartości całek do wzorów (5), znajdujemy

/, _ n _ h _ 55 *c - yc - _l3 - ₃₆ .    2c- _2/j - ₃₆

837.    Obliczyć masę płytki kołowej, jeśli gęstość powierzchniowa w każdym jej punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu odległości od środka płytki.

838.    Obliczyć masę płytki kwadratowej, o gęstości powierzchniowej wprost proporcjonalnej do sumy odległości punktu od obu przekątnych kwadratu.

839.    Płytka jest ograniczoną parabolą y² = 2px i cięciwą przechodzącą przez ognisko paraboli, prostopadle do jej osi. Gęstość powierzchniowa jest odwrotnie proporcjonalna do odległości punktu od kierownicy paraboli. Obliczyć masę płytki.

840.    W prostokącie o bokach a i b gęstość powierzchniowa jest wprost

proporcjonalna do kwadratu odległości punktu od jednego z wierzchołków płytki. Obliczyć masę płytki.    ,

W zadaniach 841—843 obliczyć momenty bezwładności jednorodnych figur płaskich:

841.    Prostokąta o bokach a i b: 1) względem boku a, 2) względem jednego z wierzchołków, 3) względem punktu przecięcia przekątnych.

23*

2 3

T*

2 -^irJ_l 12

1

= j j z²dxdy— f'j' (4—x—y)²dxdy —

' D    OABC

\    ¹    r

= - I dx | (4-x-y)²rf(4-;c-y) = - J s r    o l

(4-x-y)^:

!V ^{= I}

=

Jy=0

o

] [(3-jc)³-(4-x)V* =

i

1

3

(x-3)⁴

4

(*-4)⁴|‘ 4 Jo

55

6

355