1tom071

4. INFORMATYKA 144

Inny sens ma metoda aproksymacji średniokwadratowej, zwana też metodą najmniejszych kwadratów. Zagadnienie to sprowadza się do minimalizacji średniego błędu aproksymacji. W metodzie tej są dopuszczalne duże lokalne błędy aproksymacji, ale z odpowiednio małym prawdopodobieństwem ich występowania, co prowadzi do tego, że średni błąd aproksymacji ma być mniejszy od ustalonej wartości.

4.5.I.2. Przybliżone rozwiązywanie równań i układów równań

W wielu przypadkach teoretyczne rozwiązanie równania nie sprawia większych trudności, natomiast rozwiązanie na konkretnych wartościach liczbowych jest uciążliwe, a nawet niemożliwe. Metody numeryczne umożliwiają szybkie i w miarę dokładne obliczenie równań algebraicznych i przestępnych oraz ich układów. Jak w każdym zagadnieniu numerycznym należy pamiętać o ocenie uzyskiwanych przybliżeń. Ocena błędów przybliżeń pierwiastków jest na ogół trudna. Łatwiej jest szacować błędy, z jakimi przybliżenia pierwiastków' spełniają równania. Szacowanie błędów jest jednak w wielu przypadkach rzeczą absolutnie subiektywną.

Całkowanie numeryczne. Jest stosowane wówczas, gdy trzeba znaleźć wartości całki funkcji zadanej punktowo. Metody całkowania numerycznego najczęściej sprowadzają się do aproksymacji danej funkcji f(x) funkcją F(x) i uzyskaniu wartości przybliżonych całki funkcji aproksymującej F(x). Funkcją przybliżającą są zazwyczaj wielomiany interpolujące lub wielomiany uzyskane z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora. Szacowanie błędów w przypadku całkowania numerycznego nie sprawna większych kłopotów. Na przykład, jeśli funkcja F(x) aproksymujc funkcję/(x) w przedziale [o, />] z dokładnością określoną nierównością

|F(x) —f(x)\ =g B dla x z przedziału [a, b]

gdzie B jest stałą, oraz jeśli f(x) i F(x) są całkowalne w przedziale [a, ł>], to wtedy

b    b

j F{x)dx— j’/(x)dx

b

J [F(x)-/(x)]dx

a

a

h    b

^ J|F(x)—/(x)|dx 5$ B Jd.x = B(b—a)

a    a

b    b

Stąd wniosek, że jF(x)dx przybliża J/(x)dx z dokładnością do B(b—a).

Metody numeryczne rozwiązania równania różniczkowego dy/dx = f(x,y) polegają na znalezieniu w punktach x_f przybliżenia y, wartości rozwiązania dokładnego y(x_f), gdzie (i = 0,1,2,...), przy warunku początkowym y(x₀) = y₀. Zagadnienie to rozwiązuje się zakładając, że funkcja/(x, y) jest określona i ciągła dla x należących do przedziału [x₀, b] i y spełniających nierówność — oo < y < oc. Ponadto względem y funkcja /(x,y) ma spełniać warunek Lipschitza, tzn. istnieje stała L taka, że dla każdego x należącego do przedziału [x₀,b] i dowolnych liczb y₁₍y₂ zachodzi nierówność

lf(x,y₁)-f{x,y₂)\ L\y_l-y₂\

Rachunek różnicowy. Wiele metod numerycznych interpolacji funkcji, rozwiązywania numerycznego równań, całkowania numerycznego wykorzystuje rachunek różnicowy. W tym celu podano podstawowe pojęcia rachunku różnicowego.

Zakłada się, że są określone wartości funkcji f(x) w punktach a_i,a₂,...,a_n równoodległych, tzn. a_j+1— aj = h dla j= 1,2,...,n—1, gdzie h jest pewną stałą dodatnią. Ze względu na symetrię i wygodę obliczeń wybiera się n nieparzyste. Przy oznaczeniu r = 6,5 (n+ 1), punkt x = a_r + hm, dla m = 0, oznacza środek przedziału rozpiętego na węzłach, a dla m = (1 — 1),..., — 2, —1,0,1,2,...,r— 1 są to kolejne punkty a_l,a₂,...a„. Traktując wskaźnik węzła jako funkcję m, można wprowadzić oznaczenia węzłów ze wskaźnikiem dodatnim i ujemnym, gdzie środkiem przedziału jest punkt a₀. Ponadto dla uproszczenia wartości funkcji w węźle i oznaczono przezf_f.

Zdefiniowano trzy rodzaje różnic:

1) k-tą różnicę progresywną funkcji /(x) określa się wzorami

(4.6)

A °f(x) =/(x)

A‘/(x) = A^k- \f(x + h)—A^k~ ‘/(x) dla k = 1,2,3,...

Na przykład

A\f(x) = A/(x) =f(x + h)-f(x)

&²f(x) = A/(x + fl)-A/(x) =/(x + 2h) — 2/(x + li) +f(x)

Ogólny wzór na obliczanie Ac-tej różnicy progresywnej funkcji/(x) ma postać A‘/(x) = Z (-1 f-'Q/(* + i/i) dla Ac = 0,1,2,3,...

2)    k-tą różnicę wsteczną wyraża się wzorami

V°fix) =/(x)    (4.7)

V*/(x) = V* “ ^l/(x) - V* ~ ‘/(x - li) dla k = 1,2,3....

Na przykład

V‘/(x) = V°/(x) — V°/(x — /i) =/(x)-/(x-/i)

V²/(x) = V‘/(x)-V‘/(x-/i) = /(x) — 2/(x — li) +/(x — 2/i)

Dla dowolnego k różnice wsteczne oblicza się wg wzoru

V^k/(x) =    (- l)'Q/(x-ili) dla k = 0,1,2,3,...

3)    fc-tą różnicę centralną określa się wzorami

5 °/(x) =/(x)    (4.8)

8^k/(x) = 8^k - ’/(x+0,5li) - 8*" ‘/(x - 0,5li) dla k = 1,2,3, ...

Na przykład

6^l/(x) = 8°/(x + 0,5li)—8°/(x—0,5h) =/(x + 0,5li)-/(x-0,5li)

8²/(x) = 8 ’/(x+0,5/i) - 8 ’/(x - 0,5li) = /(x + li) +/(x - h)

Między różnicami progresywną i wsteczną oraz progresywną i centralną, liczonymi w węzłach, zachodzą następujące związki:

A^kF,-_k = V*/,

A ^kf-_kl2 = 8%

Dogodniej jest obliczać różnice, budując tablicę, tak jak tabl. 4.5. Poczynając od trzeciej kolumny, elementy oblicza się jako różnicę dwóch kolejnych liczb znajdujących się tuż obok po lewej stronie. W przypadku różnic progresywnych kolejność odejmowania liczb po lewej stronie jest od dołu do góry. Kolejność odejmowania, tworząc tablicę różnic wstecznych, jest odwrotna. Większość wzorów' numerycznych opartych na różnicach jest konstruowanych według diagramu rombowego, zwanego też diagramem Frasera (tabl. 4.6).

Tablica 4.5. Tablica różnic progresywnych

	A^2/ 3		A*/-.
Af		A^3/-3		A^3/4
	A^2/ 2		AV-3
, ^Af-		A V-2		A^3/ 3
“n/o	A^2/ ,		AV-2
		A^3/-,		A^3/ 2
^aiA	A^2/o		A^4/-,
, 4/,		A ^3y0		A 7 ,
“zfi	A^2/.		A^4/„
a r ^Af>		A^3/,		A^5/o
^alfs	a^2/2		A^4/,
^10 Poradnik	inżyniera elektryka tom 1