219(1)

■

n_

2

y' — — sin = cos

y" = — cos* = cos |'x+2 •

Podstawiając obliczone wartości do szeregu Taylora (T), otrzymamy V'2

cos a: = —2~-

71 ^X~T ^1	M	^2 ^		H ^_
11 ^/11 * Ol

i	y'" = sinx = cos	|x+3 •	ł)	Ą	£)■	V2 2
	_y(") = cos + n ■	•f)			(t)	— cos|	71 71 \ 4+”T)

B. Zbadajmy odpowiednią resztę R„ wzoru Taylora

+ (n+l)y I, 0 < 0 < 1

= 0

(«+!)!

Dla każdego x

(»+!)!

co było udowodnione w rozwiązaniu zad. 42, a prócz tego |cosa| < 1. Dla dowolnego x mamy więc lim R„ = 0, co oznacza, że badany szereg

Taylora dla cos.v jest zbieżny do cos.v dla każdej wartości x.

1014.    Napisać początkowe trzy wyrazy szeregu Maclaurina dla funkcji: 1) sec.v, 2) ln(e*+.\-).

1015.    Napisać początkowa trzy wyrazy szeregu Taylora dla funkcji:

1)

1 —x

dla a = 2; 2) xHnx dla a = 1.

1016. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje: 1) 10^x; 2) ln(l— x); 3)* cos(;c— 1).

1017. Rozwinąć w szereg Taylora funkcje: 1) e^x dla a = —2; 2) j/jc dla i = 4; 3) cos-|- dla a —

§ 5. Działania na szeregach potęgowych. Zastosowanie szeregów do obliczeń przybliżonych

Dwa szeregi potęgowe można dodawać wyraz do wyrazu oraz mnożyć wyraz po wyrazie (podobnie jak dodaje się i mnoży w ielomiany), przy tym przedziałem zbieżności tak otrzymanego szeregu potęgowego będzie zbiór punktów, w których zbieżne są oba szeregi równocześnie¹).

W przedziale zbieżności szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie, a wewnątrz tegoż przedziału można go różniczkować wyraz po wyrazie.

Jak wykorzystać te twierdzenia przy rozwijaniu funkcji na szeregi i do obliczeń przybliżonych, wyjaśnimy przy rozwiązywaniu poniższych zadań.

1018. Korzystając z rozwinięć na szereg Maclaurina funkcji: e^x, sinx, cos*, (1 +.r)^m, ln(l+A-) oraz z reguł mnożenia i dodawania szeregów potęgowych, znaleźć rozwinięcia w szereg w'g potęg x dla następujących

funkcji:

1) (l+x)e^x 2) sin²*: 3) j\r 4) e~^x sin* 5) ln(l-f-3x+2x²)

Rozwiązanie: 1) Traktując dwumian 1+jc jako szereg potęgowy,

w którym współczynniki przy wszystkich wyrazach, poza dwoma początkowymi, są równe zeru i który jest zbieżny na całej osi liczbowej, mnożymy go wyraz po wyrazie przez szereg Maclaurina dla funkcji e^x, który również jest zbieżny na całej osi liczbowej. Otrzymamy w ten sposób szukane rozwinięcie danej funkcji w szereg

Rozwinięcie to jest słuszne, czyli zbieżne do danej funkcji, dla każdej Wartości x.

Wiko jeden z dodawanych lub mnożonych szeregów.

■ ^ Niekiedy do przedziału tego należą również niektóre punkty, w których zbieżny

tvlkn    ~ a„ j_________i. i..t*_______i_______'

441