221(1)

zbieżny do ln(l+;c) w przedziale (—1, 1]. Podstawiając x = 0,1 otrzymamy szereg, za pomocą którego można obliczyć In 1,1 z dowolną dokładnością

ln 1,1 = 0,1-

(o-¹)⁴ i

2^3    4    + -

Wartość bezwzględna wyrazu czwartego jest mniejsza od 0,0001. Uwzględniając więc własność zbieżnego szeregu przemiennego (§ 2), wystarczy ograniczyć się do obliczenia sumy trzech początkowych wyrazów szeregu, aby znaleźć przybliżoną wartość ln 1,1 z dokladpością do 0,0001. Mamy

ln 1,1

0,0953

2) Piszemy dany pierwiastek w postaci f 17 = ^16+1 — 2 (l + ^)⁴

i stosujemy szereg dwumienny (D), otrzymany w zad. 1012, biorąc x — 1 1

~ 16 ’^m ~ 4

1

1 • 3

1 • 3 • 7

-1

4-16    4 • 8 • 16² ‘ 4 - 8 - 12 - 16³

Aby określić, ile początkowych wyrazów szeregu należy uwzględnić dla

obliczenia wartości} 17 z dokładnością do jednej dziesięciotysięcznej, obliczamy kilka kolejnych wyrazów tego szeregu (przypominamy, że jest to szereg przemienny i zbieżny). Mamy

a_x = 1, a₂ x 0,01562, cr₃ ss —0,00037, a₄ se 0,00001 Jeżeli ograniczymy się do sumy trzech początkowych wyrazów, to ze względu na własność zbieżnego szeregu przemiennego błąd przybliżonej wartości pierwiastka nie przekroczy żądanej dokładności, gdyż 2a₄ ~ ~ 2 ■ 0,00001 < 0,0001. Wobec tego

}/l7 Si 2(1+0,01562-0*00037) ss 2,0305

1020. Napisać rozwinięcie funkcji arctg.r w szereg, wychodząc z przedsta-

r dt

wierna tej funkcji w postaci całki arc tg x = J +ryr; rozwinąć funkcję

0

podcałkową w szereg Maclaurina i scałkować ten szereg wyraz po wyrazie.

Rozwiązanie. Funkcję podcałkową zapisujemy jako =

= (1+t²)^-1 i rozwijamy w szereg dwumienny (D), biorąc x = t², m = = —1. Mamy

(1 + t²)-¹ = 1 -t²+t*-t⁶+ ... +(-l)"-¹t²"-²+ ...

^arcts*-*-T⁺T-T⁺ - ⁺⁽-¹⁾""^lsr=r

Całkując powyższy szereg w granicach od 0 do x otrzymujemy szukany szereg

x⁵

Jest on zbieżny od funkcji arctg.t w przedziale (—1,1), gdyż rozwijana w szereg dwumienny funkcja podcałkowa jest zbieżna w tym właśnie przedziale. Można jednak dowieść, że otrzymany szereg jest zbieżny do arctg* również i na granicach tego przedziału dla x = ± 1.

1021. Napisać szereg Maclaurina dla funkcji arcsin.r, biorąc za podstawę

...    r dt

V

wyrażenie tej funkcji w postaci całki arcsin* =    ■ .

i l — t

Rozwiązanie. Podobnie jak w zadaniu poprzednim, piszemy funkcję podcałkową jako ■-/--== = (1 — ż²) ² i rozwyamy ją w szereg

1

j/l—r

dwumienny (D), biorąc x = —t²,m— --z-

i

1

(1-r²) ² = 1 + yt²-

1

2 ■ 4

³-‘+‘

3 • 5

2-4-Ó

t⁶+ - +

(2« —1) _2n

-- l ~

+

1 • 3

2 ■ 4 ... 2n

Powyższy szereg całkujemy w granicach od 0 do .r i otrzymujemy szukany szereg

1 x^2 , 1*3	X^5	,1.3-5 X^1
2 3 ^1 2 • 4	5	^1 2 • 4 • 6 7
1 • 3 • • • (2n — 1)	X^2"*^1
2 • 4 • • • 2?i	2«+l ^1 ■"

+ ... +

+

zbieżny do arcsin*, dla |xj <1.

1022. Rozwijając w szereg Maclaurina funkcje podcałkowe napisać rozwinięcia w szereg dla następujących całek:

1) f sinx²e/x 2) J \^/xe^xdx 3) J |/l —x^}dx

Rozwiązanie: 1) Korzystamy z szeregu Maclaurina dla sin*, w którym zamiast .v podstawiamy x²; otrzymujemy

..10

,.I4

+ ...

445