242(1)

Znajdujemy stąd dwa równania, określające u i v

dv 3v . - du H-lny cly y    dy    y

Z pierwszego równania wyznaczamy v

lnv ---■ 3iny; v ~ y³

dv _ 3 dy

v v

i podstawiamy do drugiego równania, po rozwiązaniu którego otrzymamy funkcję;/. Mamy

, du 1-flny

du =

1-t-lny

dy

u= \ y *dy-1- j y ⁴lny dy-\- C =    -\-l-\-C

Drugą z całek, oznaczoną przez /, obliczamy osobno całkując przez części. Podstawiając «j lny, do, — y~ 'dy, otrzymamy

/    ^(ly y~

du, = —,    ©, = "ny

-3

/ = Ju_Ldv! = Ui^r0i— J i\du_y =

lny

3y^J

1    /    4 \

W rezultacie « = —I ln y+yj + C

Mnożąc teraz u przez v otrzymamy całkę ogólną równania wyjściowego

^ ,    4    1,

* = Cy-y-ylny

Podstawiając tu wartości zmiennych x=— y, y — 1, znajdujemy

-    t

odpowiednią wartość stałej dowolnej C =    .

Ostateczne wyrażenie dla szukanej całki szczególnej ma postać

y³—4    1 .

x = —---5* lny

Rozwiązać równania:

1085.    y'-y = e^x

1086.    (x^z+l)y'+4xy = 3

1087.    cosydx = (jc-r2cosy)sinyć/>>

1088.    y^,Ą-y — x}/y

1089.    (1 —x) (y'-j-y)=e~^x, przy warunku y(2) = 0 1090¹. ydxĄ-2xdy=2y \'x sec²ydy, przy warunku y (0) = n

§ 5. Równania różniczkowe zupełne

Jeśli w równaniu różniczkowym pierwszego rzędu Pdx+Qdy — 0 współ-

S P    ¹Q

czynniki P i Q spełniają warunek ~z— = -j— » ^to lewa strona równania jest

różniczką zupełną pewnej funkcji u(x, >j^l!. Równania tego typu noszą nazwę równań różniczkowych zupełnych.

Zapisując takie równanie w postaci du = 0 i znajdując funkcję pierwotną u(x, y) wg reguł przytoczonych w rozdz. VII, § 10, otrzymamy całkę ogólną tego równania, przyjmując u(x, >•) = C.

1091. Rozwiązać równania:

1) (2y-3)dx+(2x+3y²)dy= 0

2)    (A-+ln|y|)rfx+ |l4--^“+sinyj dy — 0

Rozwiązanie: 1) Sprawdziwszy najpierw, że jest to istotnie równanie różniczkowe zupełne

p; = (2y-3)’, = 2; Q'_x = (2x+3y^_x = 2; P'_y - Q'_x szukamy funkcji pierwotnej. W tym celu wyznaczamy całki nieoznaczone

J Pdx = J (2y—3)dx = 2xy—3x^Jr<p(y)-, przyjmując y za stałe

oraz

j Qdy = f (2xĄ-3y^l)dy=2xy+y^iJr\p (a); przyjmująca za stałe

Biorąc teraz wszystkie wiadome wyrazy z pierwszej. całki i dopisując do nich brakujące wyrazy, zależne tylko od y, z całki drugiej, otrzymamy

487

1

Porównaj §8, rozdz. VII.