255(1)

W rezultacie zależność między ilością .v soli w pierwszym naczyniu a czasem będzie miała postać

ln* = -0_t03f+ln 10 albo * = lOe"⁰'⁰³'    (4)

Z kolei szukamy jak zależy od czasu t ilość y soli w drugim naczyniu. W naczyniu tym w chwili t znajduje się y litrów soli i stężenie roztworu

wynosi (lcg/I). W czasie dt dopływa do naczynia 3dt litrów roztworu, w którym jest ^ dt kilogramów soli, a odpływa 3 dt litrów roztworu,

w klórvm jest -Mr dt kilogramów soli, czyli .w czasie dt ilość soli w drugim naczyniu zmienia się o wielkość

dy = 0,03 x dt—0,03 ydł albo dy = 0,03 (x-y)dt

Zastępując w równaniu tym * wyrażeniem zc wzoru (4), otrzymamy liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu

dy = 0,03(10c-°-^03< -y)dt lub /+0,03y = 0,3e-⁰-⁰³‘ którego całką ogólną jest

y = _e-⁰-⁰³' (d+0,30

(łatwo ją znaleźć w sposób podany w § 4).

Wartość stałej Cj wyznaczamy z warunku, że y = 0, gdy t — 0, czyli

Ci = 0.

W konsekwencji zależność ilości soli w drugim naczyniu od czasu określa wzór

y =0,3 te-^0M‘

Szukaną chwilę czasu, w której ilość soli w obu naczyniach będzie jednakowa, znajdujemy przyrównując * do y

l_0e-o,o3r _ 0,3/e~^o,o3‘ skąd 10 = 0,3/; t = 33 y sck

W chwili tej w każdym naczyniu będzie po y- « 3,68 kg soli.

1167. Lokomotywa jedzie po poziomym odcinku toru z prędkoicią 72 km/godz. Ile czasu będzie trwać i jaka będzie długość drogi hamowania lokomotywy, jeżeli opór ruchu od chwili rozpoczęcia hamowania wynosi 0,2 ciężaru lokomotywy.

d²s

⁼ ~°'^2mg

gdzie: s droga przebyta w czasie t, m — masa lokomotywy, g — przyspieszenie ziemsKie.

Mnożąc to równanie obustronnie przez dt i całkując dwukrotnie, otrzymamy

ds

= - 0,2gtĄ-c_x, s=

Wartości stałych c, i c₂ wyznaczamy z warunków początkowych: dla t = 0, s = 0 i — 12 km/godz = 20 m/sek.

Z pierwszego warunku wynika r₂ = 0,az drugiego c_t = 20.

Zatem ruch lokomotywy określają równania

^ == ® = 20-0,2gt (m/sek)    (5)

s = 20/—0,11² (m)    (6)

Podstawiając w równaniu (5) v = 0, otrzymamy. czas hamowania lokomotywy

20 100 0,2g * 9,8

Rozwiązanie. Zgodnie z drugą zasadą Newtona, ruch lokomotywy określa równanie różniczkowe

« 10,2 (sek)

Z kolei podstawiając wartość t ~ 10,2 do równania (6) wyznaczamy drogę hamowania

" s » 20 • 10,2-0,1 • 9,8 • 10,2² * 102 (m)

1168. W tarczę o grubości 10 cm uderza kula karabinowa lecąca z prędkością 200 m/sek, przebija tarczę i wylatuje z niej z prędkością 50 m/sek. Określić, ile czasu trwa ruch kuli w tarczy, jeśli opór, jaki stawia ona przeciwko temu'ruchowi, jest wprost proporcjonalny do kwadratu prędkości

kuli.

Rozwiązanie. Niech m oznacza masę kuli, a s drogę przebytą pi zez nią w czasie /, liczoną od chwili jej uderzenia w tarczę. Wtedy równaniem różniczkowym opisującym ruch kuli wewnątrz tarczy będzie

°<ly toż widywani a zadań 513