262

Podstawiając szeregi dla y, y' i y" do danego równania i grupując wyrazy podobne, otrzymamy

(1 -j-1¹ cii) j^-3²a₃.x(n₂-}-4²a₄)x²-j-(ai-(-5²a_s)x--j- ...

... + [a„+(n+2)²a_n^xⁿ+ ... = 0

Przyrównując do zera wszystkie współczynniki szeregu występującego po lewej stronie równości, bowiem tylko przy tym warunku będzie on toż-samościowo równy zeru, otrzymamy układ równań

l+2²a₂ = 0, 3²a₃ = 0, a₂+4²a₄ = 0, a₃+5²a_s = 0,... ...,a_n+(n+2)²c_B+2 = 0,...

z którego wyznaczamy wartości wszystkich pozostałych współczynników:

fl₃ = fij = a₇ = ... = fl_2m + i = ••• = Oj ¹ _ _1 _ __ 1 ^ai —    2² ’    2²4² *    °⁶    2²4²6² ’    ’

(-1)”'    (-l)^m

°^2m - ₂2₄2 -_{2my.    _Ąm(jn!}2

Zatem szukaną całką szczególną danego równania jest szereg potęgowy x²    x*    x⁶    (—l)^mJC^2m

^y=l~ 4(11)2 + ^ij² ~ 43(31)² + - + 4^m(m!)² +

zbieżny dla wszystkich wartości a, o czym można się przekonać na podstawie kryterium d’Alemberta (stosunek wartości bezwzględnych dwóch kolejnych wyrazów szeregu jest równy

+2 ^*2 4^m+1 [(m+l)!]^{2 :}4^m(/w!)^{2 =} 4(/»+lj²

dla dowolnej wartości x dąży do zera, gdy m rośnie nieograniczenie).

1193. Znaleźć cztery początkowe wyrazy rozwinięcia w szereg potęgowy całki szczególnej równania y'-\-xy² = 2cos.v, przy warunku początkowym

X0) = 1.

Rozwiązanie. Podobnie jak w zadaniach poprzednich, szukamy całki w postaci szeregu potęgowego (1).

Z warunku początkowego mamy y(0) — ao = 1. Znajdując następnie szeregi dla y² i y oraz podstawiając je wraz z szeregiem dla cos a

, X² A⁴ X⁶ ,

^cosjc=1-2r+4r"6i+

do danego równania, otrzymamy

^ai + (l+2a₂)A'-l-(2tfi-|-3a₃).Y²-j- ... = 2—jc²-)- ...

Stąd przez porównanie współczynników przy wyrazach o jednakowych potęgach x występujących po obu stronach równości, znajdujemy: ai = 2, 1    5

di— ₂’^a*~    3 ‘

Wobec tego szukaną całką szczególną będzie y = 1+2*-^

1194. Znaleźć rozwinięcie w szereg potęgowy dla całki szczególnej równania y"Ą-xy = 0, spełniającej warunek początkowy >(0) = 1,

y(o) = o.

Rozwiązanie. Przypuśćmy, że rozwinęliśmy szukaną funkcję y(X) w szereg Maclaurina

j'W..= p(o)+—

0)

2!

y(">(0)

nl

(2)

gdzie: y(0), >'(0), >"(0),... są wartościami funkcji i jej pochodnych w punkcie x — 0.

Początkowe dwa współczynniki y(0) i y'(0) są dane w warunku zadania, trzeci otrzymany przez podstawienie znanych wielkości do rozwiązywanego równania, y"(0) = 0, a następne współczynniki znajdujemy przez różniczkowanie tego równania. Mamy: y" = ~{y+xy'),    /■*> = —(2y'-\-xy"),

= -(3/'+*/")..... /*> = - l(rt-2)/^H-»+x/”-%...

Stąd dla x — 0, otrzymujemy: /"(0) = — 1, y^w (0) = y⁽⁵⁾(0) = 0, P⁽⁶⁾ (0) = 1 • 4,    j^,(7) (0) = yt*> (0) = 0, y« (0) = -1 • 4 ■ 7,...

Podstawiając wyznaczone wartości współczynników do szeregu Maclaurina (2), otrzymamy szukaną całkę szczególną w postaci szeregu

y = i-^T^x

•3 _L

6!    •    9! ^x +

„ !•4-7... (3m—2) ₃.

(3«)1

zbieżnego dła każdej wartości x.

1195. Znaleźć pięć początkowych wyrazów rozwinięcia w szereg potęgowy całki szczególnej równania y"—ye* = 0, przy warunku początkowym

X0) = 2,/(0) = l.

527