27(1)

A jaką drogę przebywa ciało w trakcie trwania A:-tego interwału czasu? Jeśli interwały czasu są bardzo małe, na tyle, żeby prędkości na krańcach przedziałów były prawie równe (w*_ i ~ u*), to z dobrym przybliżeniem ten fragment drogi, Ax_k, będzie wynosić:

Ax_k = v_kAt = akAtAt = ak(Ał)²

Oczywiście suma wszystkich fragmentów drogi jest równa całej drodze przebytej przez ciało:

S    i^ak(Atf

k-l    fc.-l

Ponieważ przyśpieszenie oraz interwał czasu nie zależą od k (są takie same w każdym przedziale czasu), więc możemy je wyłączyć przed znak sumy:

N

S = a(Atf ^k

k-1

Ile wynosi suma liczb naturalnych od 1 do A⁷ (jest to tzw. szereg arytmetyczny)? Czytelnik może sam sprawdzić, stosując np. indukcję matematyczną, że zachodzi równość:

£> = ±/V(A' + l)

Równanie to można również wyprowadzić następująco:

a)    w przypadku N parzystego możemy wyrazy sumy 1 + 2 + ... + (N — 1) + A' pogrupować w N/2 wyrazów o wartości A⁷ + 1, a więc J2_k=i k — ^N(N + 1);

b)    w przypadku A⁷ nieparzystego możemy wyrazy sumy 1 + 2 + ... + (A⁷ — 1) + A⁷ pogrupować w (A⁷ - l)/2 wyrazów o wartości A⁷ + 1; pozostanie nam jeszcze wyraz „środkowy” równy (A⁷ -f l)/2. A więc EjfeLi ^k — |(A^r — l)(iV + 1) + |(AT + 1) = kN(N + 1).

W takim razie otrzymujemy wynik:

5 - a(At)²±N(N + l) = l a(T/N)²N(N + 1) = \ aT²-^±2

Zgodnie z naszym założeniem, że N jest bardzo duże, przechodzimy do granicy z N dążącym do nieskończoności:

A^r—*oo 2

Granica członu zależnego od N wynosi:

S= lim laT^{lN + 1    l}--

N

= - oT\ lim

N + 1

2    'a'—>oo    A

lim

,V~oc

N + 1

A⁷

lim lii = 1

.V—oo 1

Ostatecznie otrzymujemy wynik:

S -

Dla lepszego zrozumienia poszczególnych kroków tego wyprowadzenia pomocny może być poniższy ry-

20