286 287

■

286

Twierdzenie 5.2 (o równowadze)

Istnieje para strategii optymalnych x* oraz y* taka, że:

Oznaczymy symbolem v wektor składający się odpowiednio z m (w zadaniu konstruowanym dalej dla Gracza 1) lub n (w zadaniu konstruowanym dla Gracza II) ' składowych, z których wszystkie mają wartości równe v. W analogiczny sposób definiujemy wektory 1 i 0 o określonych wymiarach, których wszystkie składowe są równe, odpowiednio, 1 oraz 0.

Podejmowanie decyzji w warunkach niepełnej inforrnaci

gry dwuosobowe o sumie zero

Otrzymujemy rozwiązanie:

x* = 7

= y* = 0.

287

Twierdzenie 5.3

~rm

Wartość v oraz strategie optymalne x* i y* wyznaczamy przez rozwiązanie 7$ następujących zadań programowania liniowego, sformułowanych dla poszczegól- .

i

Widzimy, że w grze Człowiek-Kogut-Robak optymalny sposób postępowania zarówno Gracza 1. jak i Gracza II polega na wybieraniu wszystkich strategii i równym prawdopodobieństwem. Oczekiwana wypłata zarówno dla Gracza I, jak j Gracza II jest równa 0.

Jednocześnie łatwo sprawdzić, że zadania (5.5) oraz (5.6) są zadaniami dualnymi, utworzonymi według zasad opisanych w podrozdziale 1.9 (por. przykład 1.14).

nych graczy: Gracz 1

Gracz II

m

v —> max, xW > v. xl = 1, x»0.

v —» min, Wy < v,

iy=i.

y>0.

Nieznana wartość gry v> = xWy staje się zmienną decyzyjną zarówno w zadaniu dla Gracza I, jak i Gracza II. Dla ujednolicenia zapisu przyjmiemy dalej, że w zadaniu dla Gracza 1 zmienną y oznaczymy symbolem x_m+l, a w zadaniu dla Gracza II — symbolem y„₊,.

Chcąc znaleźć strategie optymalne dla graczy z przykładu 5.6, zapiszemy zadania programowania liniowego dla Gracza 1 i Gracza II. Mają one postać:

Gracz I

Gracz II

x,_t —» max,

-x₂ + x_? >x₄,

X| -X, >x₄, — X|+X₂    >X₄,

X| +x₂+x_:t= 1,

X

y₄ —> min,

-yi-y* ^^4, -y,    + yj ^ .y₄,

.Vi-y₂

yi+y2+>^,3= i-

yi, y* ys > 7.

,, x₂, x₃ > 0.

Uporządkujemy oba zadania w taki sposób, aby po lewych stronach warunków ograniczających znalazły się wszystkie zmienne zadania:

Gracz I

Gracz II

x. —> max,

y₄ -> min,

H - x2+x, — x4 > 0,		-y-i-y-s-y*
x, — x3-x4>0,	(5-5)	->’i +y*-y (5-6)
-x,+x2 —x4>().		,yi-y2 -^4^0.
X|+X2+X1 =1,		yi+y2+>’j =i.	I
x|t x2, x;, ^ 0.		yt, jh. y3>0.	f§.
			V. ■ W	■;
				0
			H	Sśk