207(1)

*    949. Obliczyć dywergencję pola wektorowego: i) a — xy■. ■■ w punkcie A(i, —1, 3), 2) gradientu funkcji u = ajtz³.

•    950. Sprawdzić, czy pole wektorowe p=yz (4xi—yj—zk) jest polem solenoidalnym

951. Zadania 947 (3) i 948 (2) rozwiązać za pomocą wzoru Gaussa— Ostrogradskiego.

S 3. Cyrkulacja i wirowość (rotacja) pola wektorowego

Całką liniową wektora a wzdłuż linii / nazywa się całkę krzywoliniową

C — f a_x dx -h% dy -\-a₂ dz    (1)

i

W polu sił całka liniowa wyraża pracę, jaką wykonuje pole przy przemieszczaniu punktu wzdłuż tej linii (patrz rozdz. VII, § 9).

W przypadku zamkniętego konturu, całkę tę nazywamy cyrkulacją pola wektorowego a po konturze /.

Wirowością albo rotacją pola wektorowego, określonego wektorem a, nazywa się wektor

/ da. c'a_y \ ■ , I Sa_x    8a_z \ . , { da_y 8a_x \.    .

^rot ‘ - by- -sj'+ (ir -1r)>+br-1rr    ⁽²⁾

Pole wektorowe o tej własności, że w każdym jego punkcie rotacja jest równa zeru, nazywa się polerh potencjalnym albo bezwirowym. W polu potencjalnym całka liniowa (praca) nie zależy od kształtu linii łączącej dowolne ‘dwa punkty, a cyrkulacja po każdym konturze zamkniętym jest równa zeru.

Pole wektorowe, będące jednocześnie solenoidalnym i potencjalnym, nazywa się polem harmonicznym.

Zgodnie ze wzorem Stokesa (rozdz. VII, § 11), cyrkulacja pola i jego rotacja są związane zależnością

fa_xdx+a_ydy-\-a_tdz — I | (rot a)_xdydej-(rot a)_ydxdzj-(roi a)_zdxdy (3)

a

oznaczającą, że cyrkulacja wektora po konturze zamkniętym (l) jest równa strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię (er), ograniczoną tym konturem.

*) Dla łatwiejszego zapamiętania wzór ten zapisujemy w postaci

i j k

_d_

dz

a_z

rot a --

d_ _a_

3x dy Qx ^ay

952. Obliczyć cyrkulację pola wektora:

1)    r = X/ wzdłuż okręgu * = acost, y = asint,

2) p — (x—2) i \-(x+y)j—2zk wzdłuż obwodu trójkąta o wierzchołkach ,4(1.0.0), 5(0,1,0), C(0,0,1),

3)    q[xz, —yź¹, xy\ wzdłuż linii zamkniętej (L) o równaniach z = x²—

__v2_2a¹, x²+y² ~ a² (por. rys. 148, str. 322) oraz obliczyć rotację tego

pola w punkcie A(0, —a, a¹).

Rozwiązanie. Stosując wzór (1), otrzymamy:

o

o

L

Obierając przeciwny kierunek obiegu danego konturu, musielibyśmy w otrzymanym wyniku zmienić znak na przeciwny.

2) Ć = j (x—2)dx-\-(x-\-y)dy — 2zdz

ABCA

Obwód ABCA trójkąta składa się z trzech odcinków, leżących na prostych o różnych równaniach. Całkę krzywoliniową po konturze ABCA należy więc obliczyć jako sumę trzech całek wzdłuż odcinków AB, BC i CA.

Piszemy równania prostej AB: x+y = ł, z = 0 i na ich podstawie przekształcamy całkę krzywoliniową wzdłuż odcinka AB na całkę oznaczoną o zmiennej całkowania x

o

Podobnie znajdujemy:

2

BC 1

1

dla odcinka BC: y+z = 1, x = 0 i f = J (2 -y)dy = -

dla odcinka CA: xĄ-z = l,j = 0 i J = - f xdx =

Wobec tego

²¹ Mclod

o

ABCA AB BC CA

-^{v roz}wiąxywania zadań

417