209(1)

Wtedy cyrkulacja będzie równa ±tt.

954.    Obliczyć cyrkulację pola wektorowego:

1)    p = x*y³i-\-j+zk wzdłuż okręgu x²-} >'² = a², z — 0,

2)    ą = (x—2z)i+(x+3y+z)j+(5x+y)k wzdłuż obwodu trójkąta opisanego w zad. 952(2).

955.    Wyznaczyć rotację w dowolnym "unkcie pola wektorowego: 1) p — =■ xi—z²j+y²k, 2) q = yzi+xzj-]-xyk.

/— 3/— 4 r—

956.    Sprawdzić, że pole wektorowe gradientu funkcji u = yx j y \ z jest polem potencjalnym.

957.    Sprawdzić, że pole wektorowe wektora a — -    jest

y(* -)-/+z)

harmoniczne.

958.    Zadania 954 (1 12) rozwiązać ża pomocą wzoru Stokesa.

SZEREGI

Rozwiązywanie wielu zadań polega albo na obliczaniu ¹ rtości funkcji i całek, albo na poszukiwaniu rozwiązań równań różniczkowych (patrz rozdz. X), w których występują pochodne lub różniczki funkcji niewiadomych.

Odpowiednie operacje nie zawsze można wykonać w sposób dokładny; często jest to bardzo trudne albo-wręcz niemożliwe. W takich przypadkach można na ogół otrzymać rozwiązanie przybliżone, o żądanej dokładności, za pomocą szeregów.

Szeregi stanowią proste i doskonałe narzędzie analizy matematycznej przy przybliżonym obliczaniu funkcji i całek oraz przy rozwiązywaniu równań różniczkowych.

§ I. Szeregi liczbowe zbieżne i rozbieżne. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich

Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie

-f 00

Ol + ^2 + ^a3+ ••• +A/I+ ••• = y_,    (1)

n=*l

w którym liczby a_u a₂, ..., a„, ..., nazywane wyrazami szeregu, tworzą pewien znany ciąg liczbowy.

Szereg liczbowy jest zbieżny, jeżeli ciąg sum częściowych początkowych wyrazów szeregu: 5j = a₁₍ S₂ = a_xĄ-a_t,..., S„ = Uj-f a₂-f ... ^Jra„ jest zbieżny, gdy n -» oo.

Granicę tę, jeśli istnieje, nazywamy sumą szeregu zbieżnego.

Jeśli natomiast lim S_n nie istnieje, to szereg jest rozbieżny.

n—► + oo

421