125

Odpowiedzi i wskazówki

125

2*+l

1 x

2^kk\2k+\

Niech żądana dokładność będzie równa 8. Wtedy obliczamy sumy częściowe, aż x*^+x/{(2k+\)2^kk\) < 5.

2.4.1.    ę_z(t) = ę_x(t)ę_y(t) = exp(—imt — o²t²/2), gdzie m = m_]— m₂, o = yjaf +

Stąd Z ~ N (m, — m₂,    + (r|).

i _ Jtn i

2.4.2.    (p(t) =-—r-e^,Klⁿ.

²-⁴-³- v(0 =    , <p'(0 =    ₂ . <P'(0 Lo = ^ •

(e^_" - q)    P

e~“ — q

_ pe~^u (1 +e")

(qc~“ - 1)

Zatem EX = 1 /p oraz D²X = q/p²

2

p 7

<p"(o=^,;r......• .y . ^'(o u=^ - „2 ■

ęitb _ ęita

2.4.4. Wskazówka. <p_x(t) = t^-y , (p'(t)\_l=0 = lim<’p'(t). Skorzystać z twierdzenia

de L’Hospitala przy obliczaniu granicy.

2.4.5.    Nie, bo nie istnieje (p'(t)\_!=0.

2.4.6. ę_Xt(t) = e^(^e" 0, <p_X]+..._+X/i(0 = J] ^(r) = e^A<^e" ^x\

k=l

gdzie A = Aj H-----b A,,.

^2M- ”(» =    = (77 ■ EX‘ = £ .

2.⁴-8. <?>(() = ™-, <P^|t!(')j₍₌₀

(-1 fi^kk\

a^K

Zatem m_k = (—1 )^kk\/a^k.

2.4.9.    /3 = a/2, ę{t) — a²/(t² + a²).

....    , .    -2 + 2e"(l —it)    2 (2 — e"(2 + 2(Y +1²))

2.4.10.    <p_x(f) =-->- , <^(r) =    -U.

e^2,((l — 2it) — 1

2f2

<P'(0Uo = 2i’/3, skąd EZ = 2/3, <p_K(t) = e'

2.4.11. Wskazówka. Znaleźć funkcję charakterystyczną ę(t) dla X i Y i porównać <p²(t) z funkcją charakterystyczną z przykładu 2.4.2.

/ b \^p    / bn \^np

^2A12-^)=(^) = •

2.4.13. Jeśli f_x(x) = f_x(-x), to

<Px(^t) = j_Q (e“^z + e~“^z) f(z)dz = 2 cos(tz)f(z)dz