119

119

Odpowiedzi i wskazówki

m₂{x) ~ 1 dla x G (0,1).

7.2.2.    Wskazówka. Niech A — {X < x}, B = {Y < y}. Zdarzenie A było omówione w przykładzie na str. 15, a B jest prostokątem. Wtedy F(x,y) = Pr (A OB).

7.2.3.    A — oc/3. Ponieważ AQ~^^ax^^^y^ = ae~^axpe~^^y, to rozkłady brzegowe są wykładnicze z parametrami odpowiednio a i /3.

7.2.4.    Rozkład łączny jest dany tabelą:

Y \	-2	-1	0	1	2
—2	0	0	1/9	0	0
-1	0	1/9	0	1/9	0
0	1/9	0	1/9	0	1/9
1	0	0	0	2/9	0
2	0	0	0	0	1/9

Zmienne te nie są niezależne. Regresja mj(y) jest dana tabelą:

y	-2	-1	0	1	2
mx{y)	0	0	0	1	2

7.3.1. a) p = 0 oraz EX = EY = 0, skąd wszystkie współczynniki regresji są równe zeru. b) p = 0 oraz EX = 0, EX = 3/2, skąd oblicza się współczynniki regresji.

7.3.2. Pr{X<x,Y <y)

^ro

^F(^x,y) = min {x_iy/y)

1

= Pr(X < jc,X < y/y), skąd dla x < 0 lub y < 0, dla x G [0,1] lub y G [0,1], dla x > 1 i y > 1.

Cov(X,F) - 1/12, p =4/a/15.

7.3.3. Wskazówka. Wystarczy udowodnić dla zmiennych losowych zerojedynkowych X,, inne zmienne dwupunktowe są postaci Y_i = aX_{ + b, i~ 1,2. Wtedy Cov(Xj,X₂) = p_n - p_vp_Ą — 0 wtedy i tylko wtedy, gdy X_x i X₂ są niezależne.

7.3.4. Pokazać, że gęstość warunkowa dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego jest normalna.