131

131

Odpowiedzi i wskazówki

d) v² = 4.84.

Wariancja er² = 4.41 jest najlepiej oszacowana przez

5.1.8.

dla x O, dla O < x ^ 9, dla x> 6.

1

n

a) F_n(x) = Pr(Z„ <x) = J^Pr^. < x)

i=i

n-1

b) /.w=iśuJ    ^dl“^{€ |0}’^el-

[O    dla x / [0,0].

c)    EZ„ =n9/(n+ 1), skąd E T_n — 6. Estymator jest nieobciążony.

nd

D²T_n = ('^ ) D²Z_n,

• O gdy w —> oo. Estymator jest zgodny.

D ²Z„ =

(n + 2)(n+ l)²

5.1.9.    Nieobciążoność T₂ wynika z przykładów 4.1.3 i 5.1.2. Estymator 7j jest lepszy od T₂, bo ma mniejszą wariancję.

5.1.10.    a = X — 1/2. Ea = a, czyli a jest estymatorem nieobciążonym. Ponieważ D²ń = 1/(12n) —» 0, gdy n —> °° , więc Pr(|a — a\ > e) < D²a/e². Stąd a jest estymatorem zgodnym.

n

5.1.11.    Pr=x_t) =//'(!-p)^l~^x<, gdzie x_t = 1 lub x_t = 0. L(x_],... ,x_n\p) =    -p)'-^x>.

= 0.

^dlnL Y!i=\x> EŁi U--*,•) dp    i-p

Stąd p = X. Dla danych liczbowych z tego zadania p = 0.65.

5.1.12. 8 = - —^-.

E" , lnX₍

5.1.13.

a)    P=

b)    fh=X, cr²=S²,

, - ⁿ

^c)    ^c =    i_ny •

E;=i^lnX,

5.1.14.

a)    A = X, EA = X, D²A = A/n -» 0 dla n —> oo . Stąd estymator jest nieobciążony i zgodny.

b) p=X//, Ep = p, D²p = 7^ —> 0 dla n —> °o (/ - parametr rozkładu dwumianowego,

In

n - wielkość próby). Stąd estymator jest nieobciążony i zgodny.