132

132

Odpowiedzi i wskazówki

c) ot = X, Eot = ot, D²ot = o²/n —> O dla n —>    Stąd ot jest estymatorem nieob-

ciążonym i zgodnym. Ponieważ ćr² = S² i nŚ² ja² ma rozkład chi-kwadrat o n— 1

stopniach swobody, więc E<7“ = •

<7² dla n —>⁰⁰

D²ct²

dla n —* 00. Stąd estymator <7² jest asymptotycznie nieobciążony i zgodny.

5.1.15. Estymatory z punktów a) i b) są takie same jak w zadaniu 5.1.13, a estymator

,    .......X

parametru c z punktu c) jest inny 1 jest równy c = =- .

X — 1

5.1.16.    Metoda momentów: a = 3X/2,

metoda największej wiarogodności: a = max{X, ,X,,... ,X_n}.

równania

-MS?

n

5.1.18.    B = 2A/n. Estymator spełnia równanie ^

5.1.19.    A

5.1.17.    Musi być a > 0 oraz (5 > 0. Wtedy a = 1/\f$. Parametr j3 jest rozwiązaniem = 2 n.

Ax ■

= n.

1=1

1 -\-Axi

EL,1 nX/

5.1.20. Z warunku ^a/3^A = 1 wynika, że a = 1 — j3.

k= 1

Metoda momentów: trzeba założyć istnienie pierwszego momentu, czyli zbieżny musi być szereg

EX

k= 0 X-'

-3 P

. Stąd fi g (0,1/3) oraz fi = (ot — 1)/(3ot— 1).

3X

Metoda największej wiarogodności: j8 5.2.1. x = 0.025, u_a

X

l+x

.64, me (—0.057,0.107).

5.2.2.    x = 2.1, m„ = 1.64, ot G (1.936,2.264).

5.2.3.    t_a =4.6041, wG (14.35,27.25).

5.2.4.    t_a = 2.7874, ot g (980,1461).

5.2.5.    x = 314.47, 5 = 6.25, t_a = 3.7074, m G (305.01,323.93).

5.2.6.    u_a = 1.96, ot G (992,1007).

5.2.7.    x= 12, 5 = 4.72, u_a = 1.96, ot G (11.07,12.92).

5.2.8.    x = 5.5, 5 = 2.54, u_a = 1.64, ot G (5.14,5.86).

5.2.9.    i² = 176.479, c, = 11.5240, c₂ =44.3141, a² G (103.5,398.2).