Odpowiedzi i wskazówki Zad 9 142

O d p o w i e d ź: tg (a3+2/) — —----dla x ■£ — a + — ( 2/c -f 1)

1 Ctl) £ - 1 •

ab 4- 1    2

V ć a+-- (2w+l)

189. Ro związanie: badamy znak różnicy cos(a — /?) —sin(a + /2).

Mamy: eos(a—/?)—sin(a+/?) — sin (90° — a+j(7)— sin(a + /3) =

= 2cos(45° + /l)sin (45°—a).

Dla 0° < a < 45° i 0° < fi < 45° różnica jest dodatnia.

Jest również dodatnia dla 45° < a < 90° i 45° < ji < 90°.

Oznacza to, że twierdzenie jest praw dziwe.

140. Rozwiązanie: ponieważ trójkąty A A DC i A BEC są przystające (rys. 3) w^rięc A DCE jest równoramienny.

3oc

a cos-

3a    2

Niech AC — BC — a, wówczas CO — acos— i CE — -—-.

2    a

cos —•

2

C

Z twierdzenia sinusów^ mamy:

DE

CE

EB

CE

sina

sin 90° —

sina

sin 90°

3a

Stąd:

DE sina sina EB

CE

3a cos —

2

CE

cos

DE

czyli---

^y EB

3«

cos -

a

cos —

9

*    DE

, stąd ——+ 1 — EB

cos

3x

a

cos — 2

-1-1,

DE+EB

EB

3a    a    „    a

cos--h cos —    2 cos a cos —-

2    2 DB    2

a

cos -2

BB

a

cos — 2

DB _o    . AE

-= 2 cos a, więc —— = 2 cos a.

EB    AD

141, Rozwiązanie: wprowadzimy oznaczenia: «£ECF = a, -£CEF — fi i <£'CFE = y (rys. 4).

Rys.

Z warunków zadania wynika, że BC — 2EC, zaś stąd tg/? = 2. Ponieważ AG jest przekątną kwadratu, więc a — 45° i tg a *= 1. W takim razie tgy == tg [180°— (a+/J)] = — tg(a + /?) == tgoc + tg/3    tg a + tg/?    1 + 2

dla

1—tga-tg/3    tg a • tg /? — 1

142. a) V^/2cos(a —45°),

b)    V2 sin (a — 45°),

2    71

c)    - dla « + &• —,

sin 2a    2

d)    — 2ctg2a    dla a + k •

Z

e)    sin (a+/?)sin (a—/?),

f)    sin(a + /?)sin(/? —a),

= 3.

1-2-1

g)    sin 2asin 2fi,

h)    sin 2«sin 2/?, sin(«+/?)sin(a—/?)

cos² acos² /?

« ^ ^-(2fc+l) i p * ^-(2m+l),

z    z

sin(a+/?)sin(/?—a)

i) ----_:- dla

sin² a sin²/?

a # ibz i /?    w??.

153