20(4) 3

» •.

Obliczamy wartość liczbową x' + y'= (.v + >•)( x‘ - xy + >•') = wyrażenia x + y . W otrz>'mancj =3 -(5-2) = 3- 3 = 9 sumie zastępujemy wyrażenie x + y liczbą 3, wyrażenie x‘ + y' liczbą 5, a wyrażenie xy liczbą 2.

Odpowiedź: Wartaść liczbowa wyrażenia jest równa 9.

Wyznacz liczby a i b, tak aby wielomiany W (x) = (a + b)x + 5a‘ + li P(x) = 3a ⁷ + (a - b)x‘ +

1 były _r

Rozwiązanie:

Wielomiany tej samej zmiennej są równe, jeżeli są tego samego stopnia oraz mają równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej.

równość wielomianów -♦ patrz rozdział 2.U, s. 253

Oba wielomiany muszą być zatem 7 stopnia, a więc współczynnik stojący przy x' w wielomianie W (.v) musi być różny od zera.

Porównujemy współczynniki stojące przy x ' i x‘ w obu wielomianach.

Rozwiązujemy otrzymany układ równań. Dodajemy stronami równania i wyznaczamy a.

a + b = 3 a - b = 5

a + b = 3 a - b = 5 a + a + b - b = 3 + 5 2a = 8    |: 2

a = -I

Wyznaczone a wstawiamy do jednego z równań układu i obliczamy b.

a + b = 3

/> = 3 - <i = 3 - 4 =—I

Sprawdzamy, czy a + b £ 0.

Odpowiedź: Wielomiany są równe dla a = 4 i b = -1.

Wielomiany P(x) i K (.v)są określone wzorami P(x) = m' x'+ (m‘ - 3).v*+ 3.v‘ i K(x) —9x Określ stopień wielomianu H'(x) = P(x) + K (x) w zależności od liczby nu

>

2 nix

Rozwiązanie:

Dodajemy wielomiany i zapisujemy otrzymane wyrażenie w postaci uporządkowanej.

W W = P(x) + K(x) =

-m¹ x⁵+ (m²- 3)x* + 3x‘ + (- 9.v⁵) - 2«;.v* + m.v* = =(«* - 9).v' + (m'- 2m - 3).v⁴ + (3 + m)x~

m¹ - 9 = (/» - 3)( m + 3) ^ O m - 3 # O i m + 3 # O w # 3 i m 96 - 3

HsSSSB—-

>tojący P - Redzie on ro/ny

IV (x) = On - 9) a' + On' - 2ni - 3) a⁴ + (3 + m)a* =

= (9-9) a⁵ + (9 - 6 - 3)a⁴ + (3 + 3)a^; = O + O + 6a^? = <xv²

piątego Stopn>a-

i corawdzimy. którego stopnia

wielomian otrzymamy,

gdy m = 3._;

Wielomian jest więc drugiego stopnia.

Sprawdzamy, którego stopnia W (a) = (m²-9)x'+ (ro^:- 2ni - 3)a‘+ (3 + m)x =

jest wielomian, gdy m -3.    =(9-9) a⁵+(9 + 6 - 3)a*+(3 - 3)a²= 0 + I2x⁴+0-*^: = lit*

Wielomian jest więc twartego stopnia.

Odpowiedź: Wielomian jest piątego stopnia, gdy m / 3 i m f--2. Dla m = 3 wielomian jest stopnia ¹ drugiego, dla m--3 wielomian jest stopnia czwartego.

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu VV(.v) = a ' + mx' - 16a + 32, a m jest liczbą rzeczywistą. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

IV(2) = 2’+ m ■ 2^: - 16 2 + 32 = 8 + 4m - 32 + 32 = 8 + 4m 8 + 4 m = 0 4m =-8 m =-2

Rozwiązanie;

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, więc \V(2) - 0. Korzystając z tej własności, wyznaczamy liczbę m.

Wstawiamy wyznaczone m do wżbni wielomianu.

IV(a) = a^J-2a²- 16a + 32

^^a^f^e,0mian    W (a) = a' - 2a^: - I6a + 32 = a² (a - 2) - 16 (a - 2) =

= U - 4Xx ₊ 4)(, - 2)

PTOd na**,, i stosujemy wzór ^r°conego mnożenia.

^jcst    w{x)=0

[K ^{kt6rcj U (}"^{) =} °- C* " 4)( a + 4)( a - 2) = 0

A = 4, A =- 4, A = 2

pierwiastki wielomianu to 4 i - 4.

'YyW.

nia

^d^^,,/-<^J>th ^liczl> rzeczywistych a, y różnych od zera i takich, żc a i- y i a ź ~y. wartość wyrażc-x‘—" _v ” a + v ^: (3TTy (jest liczbą całkowitą.

V.