20(4) 2

» •.

Obliczamy wartość liczbową x' + y'= (.v + >•)( x‘ - xy + >•') = wyrażenia x + y . W otrz>'mancj =3 -(5-2) = 3- 3 = 9 sumie zastępujemy wyrażenie x + y liczbą 3, wyrażenie x‘ + y' liczbą 5, a wyrażenie xy liczbą 2.

Odpowiedź: Wartaść liczbowa wyrażenia jest równa 9.

Wyznacz liczby a i b, tak aby wielomiany W (x) = (a + b)x + 5a‘ + li P(x) = 3a ⁷ + (a - b)x‘ +

1 były _r

Rozwiązanie:

Wielomiany tej samej zmiennej są równe, jeżeli są tego samego stopnia oraz mają równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej.

równość wielomianów -♦ patrz rozdział 2.U, s. 253

Oba wielomiany muszą być zatem 7 stopnia, a więc współczynnik stojący przy x' w wielomianie W (.v) musi być różny od zera.

Porównujemy współczynniki stojące przy x ' i x‘ w obu wielomianach.

Rozwiązujemy otrzymany układ równań. Dodajemy stronami równania i wyznaczamy a.

a + b = 3 a - b = 5

a + b = 3 a - b = 5 a + a + b - b = 3 + 5 2a = 8    |: 2

a = -I

Wyznaczone a wstawiamy do jednego z równań układu i obliczamy b.

a + b = 3

/> = 3 - <i = 3 - 4 =—I

Sprawdzamy, czy a + b £ 0.

Odpowiedź: Wielomiany są równe dla a = 4 i b = -1.

Wielomiany P(x) i K (.v)są określone wzorami P(x) = m' x'+ (m‘ - 3).v*+ 3.v‘ i K(x) —9x Określ stopień wielomianu H'(x) = P(x) + K (x) w zależności od liczby nu

>

2 nix

Rozwiązanie:

Dodajemy wielomiany i zapisujemy otrzymane wyrażenie w postaci uporządkowanej.

W W = P(x) + K(x) =

-m¹ x⁵+ (m²- 3)x* + 3x‘ + (- 9.v⁵) - 2«;.v* + m.v* = =(«* - 9).v' + (m'- 2m - 3).v⁴ + (3 + m)x~

Wielomian jest w ięc drugiego stopnia.

Sprawdzamy, którego stopnia jest wielomian, gdy m - -3.

IV (x) = (/«*- 9).v'+ On' - 2m - 3).v* + (3 + ni)x' =

= (9 - 9) V+ (9 + 6 - 3).v* + (3 - 3).v^: = 0 + 12*⁴ + 0 V = 12t⁴

Wielomian jest więc czwartego stopnia.

Odpowiedź: Wielomian jest piątego stopnia, gdy m £ 3 i m #-3. Dla m - 3 wielomian jest stopnia drugiego, dla m - -3 wielomian jest stopnia czwartego.

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(.v) = .v'+ mx‘ - 16.v + 32, a m jest liczbą rzeczywistą. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

Rozwiązanie;

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, więc IV(2) = 0. Korzystając z tej w łasności, wyznaczamy liczbę m.

Wstawiamy wyznaczone m do wzbru wielomianu.

IV(2) = 2³+ m 2^: - 16 ■ 2 + 32 = 8 + 4m - 32 + 32 = 8 + 4m 8 + 4m = 0 Am =-8 m =-2

lV(x) = .v^,-2tⁱ- l(xt + 32

W(x) = ,r2x²- I6cc + 32 = x*(x - 2) - 16(x - 2) = na czynniki. Grupujemy wyrazy, = (,_v² - 16X x - 2) = (x - 4)( ,v + 4)< x - 2) wyłączamy wspólny czynnik pr/cd nawias i stosujemy wzór skróconego mnożenia.

Rozkładamy wielomian

IV (x) = On - 9)x⁵ + (m^:- 2m - 3).v⁴ + (3 + m)x² =

= (9-9) x^f+ (9 - 6 - 3)x⁴+ (3 + 3)x*= 0 + 0 + 6x^: = 6x²

Rozpatrujemy współczynnik Stojący przy najwyższej potędze zmiennej. Jeśli będzie on różny od zera. wielomian będzie piątego stopnia.

Sprawdzimy, którego stopnia wielomian otrzymamy, gdy m = 3.

m' - 9 = (/« - 3Xni + 3) ^ 0 /n-3/Oi« + 3?*0 m i= 3 i m J* - 3

Pierwiastkiem wielomianu jest liczba o. dla której W(o) = 0.

H'(a) = 0

(.v - 4)(.v + 4X * - 2) = 0 X = 4. .v =- 4, x = 2

Odpowiedź: Pozostałe pierwiastki wielomianu to 4 i -4.

1 fffTin JP

Wykaż, żc dla każdych liczb rzeczywistych .t, y różnych od zera i takich, żc .t /- y i .v /-y. wartość wyrażę-^nia (T=7 -    *. j: ( ^y)jest liczbą całkowitą.