402 403

402 Programowanie dynamiczne

Dla stanu y₂ = 1 mamy:

X₂(l)={*₂: 0«S l+Jt₂-3 s$4, 0sS*₂<4).

Ponieważ z drugiego warunku wynika, że x₂= {0, 1, 2, 3, 4}, dla kolejnych wartości x₂ sprawdzamy, czy spełniony jest warunek pierwszy:

x₂ = 0, -*2=1. *2 = 2, *2 = 3, x₂ = 4,

0< 1 +0-3 <4, Ost 1 + 1 - 3 <4, 0< 1 + 2-3^4, 0 «£ 1 + 3 - 3 sS 4, 0<l+4-3^4,

czyli 0 g X₂(l), czyli Ig X₂(l), czyli 2e X₂(l), czyli 3g X₂(l), czyli 4g X₂(l),

stąd:

X₂(l) = {2, 3,4).

Dla stanu >’₂ = 2 mamy:

X₂(2)=!x>: 0<2+Jt₂-3<4, 0<*₂«4).

Ponieważ z drugiego warunku wynika, że x₂ = {0, 1, 2, 3, 4), dla kolejnych wartości x₂ sprawdzamy, czy spełniony jest warunek pierwszy:

x₂ =0, *2 = 1, *2 = 2, *₂ = 3, *2 = 4,

0^2 + 0-3<4, 0 <2+ I -3 <4, 0=g2 + 2-3<4, 0s?2 + 3-3 <4, 0<2 + 4-3<4,

czyli 0g X₂(l), czyli 1 e X₂(l), czyli 2e X₂(l), czyli 3 e X₂(l), czyli 4e X₂( 1),

czyli:

X₂(2)= {1, 2, 3, 4).

Przechodzimy teraz do wyznaczania stanów dopuszczalnych na początku trzeciego etapu. Wykorzystamy przy tym zależność:

y,=>-₂ + *2-3.

Dla kolejnych stanów ze zbioru Y₂ oraz odpowiadających im decyzji dopuszczalnych X₂(y₂) obliczamy:

• dla y₂ = 0:

x₂ = 3, y₃=0 + 3 — 3 = 0,

*2 = ⁴. y₃ = 0 + 4-3=l,

• dla y₂ = 1:

*2 = 2, y₃ = 1 + 2 — 3 = 0, *2 = 3, y₃=l + 3-3= 1, *2 = 4, y₃=l +4-3 = 2,

II £ CS	2:
x2= 1,	y3 = 2 + 1 - 3 = 0,
£ ll JO	>>, = 2 + 2-3= 1,
x2 = 3,	y3 = 2 + 3 —3 = 2,
II rt *	y3 = 2 + 4 - 3 = 3,

czyli suma mnogościowa otrzymanych zbiorów daje nam zbiór stanów w postaci: n= {0, 1, 2, 3).

Etap 3

Wyznaczając zbiory decyzji dla etapu trzeciego, należy uwzględnić to, że stan końcowy procesu jest ustalony i wynosi 0. Dla stanu y, = 0 mamy:

X₃ (0) = {x₃: 0 + *₃ — 3 = 0, 0 < x₃ < 4}.

Ponieważ z drugiego warunku x₃={0, 1,2, 3, 4}, dla kolejnych wartości sprawdzamy, czy spełniony jest warunek pierwszy:

czyli 0g X₃(0), czyli 1 g X,(0), czyli 2g X₃(0), czyli 3e X₃(0), czyli 4 g X₃(0),

x₃ = 0, 0 + 0 — 3 * 0, x₃ = 1, 0 + 1 — 3 * 0, x₃ = 2, 0 + 2 —3*0, Xj = 3, 0 + 3-3 = 0, .r, = 4, 0 + 4-3*0,

stąd:

X,(0)={3).

Sprawdzamy warunek pierwszy dla stanu y₃ = 1 i otrzymujemy dla kolejnych

wartości x3:
x3 = 0,	1 +0-3*0,	czyli 0g X3(l),
x3= 1,	1 + 1 -3*0,	czyli	1 g A\(l),
x3 = 2,	1 +2-3 = 0,	czyli	2e X3(l),
x3 = 3,	-H. ro 1 m +	czyli 3 g X3(l),
x, = 4.	1 +4-3*0,	czyli	4gX,(l),
tak więc:
X3(l) =	(2).

Podobnie dla stanu y₃ = 2 mamy:

czyli 0g X₃(2), czyli 1 e X₃(2), czyli 2g X₃(2), czyli 3g X_t(2), czyli 4 g X_}(2),

x₃ = 0, 2 + 0 —3*0, x₃=l,    2+1-3 = 0,

x, = 2, 2 + 2 —3*0, xj = 3, 2 + 3 —3*0, x₃ = 4, 2 + 4 - 3 * 0,

tak więc: X₃(2)={1}.