40(1)

p — ry cos (f>.    'i

7    ■    -    ,    ^(7l47)]

Zapisując prawą stronę równania (7.47) jako iloczyn skalarny F • t\ może 1 zależność przedstawić w postaci:

(moc chwilowa).

(7.48)

■Na przykład ciężarówka /. rysunku 7.13 działa sili! i na ciężki) przyczepę _mai w pewnej chwili prędkość 5. Moc chwilowa jest to szybkość, z jaką _si)f| wykonu je pntcę nad przyczepą w tej właśnie chwili: jest ona dana wzorami (7 ₄₇> 1 (7.48). Mówienie o tej mocy jako o „mocy ciężarówki" jest zwykle do przyjęcia lecz należy pamiętać, co to znaczy: moc jest 10 szybkość, z jaką wykonuje nr,... siła zewnętrzna.    ' '    *

Klocek |>urus/.i się ruchom jednostajnym j>o okręgu. ponieważ j_cs, przywiązany ,lo linki, której Oiu^i konie. jest umocowany w pewnym punkcie. l/y „J_c związana z silą działającą na klocek ze strony linki jot dodalnia ujemna, c/.y równa zeru?

czyli

Przykład 7.1 0

Na ry.Minkii 7.14 przedstaw jonu pudełko, iu któro d/.iułają dwie Nlalc m!> A, i pizy e/yin pudelku ślizga się Ikv tarcia po podłodze w piawo. Silą l \ jest skierowana poziomo i ma wartość 2 N, siła /•» o wartości 4 N skierowana jest w górę. pod kątem 6(1 do podłogi. Prędkość pudelka ma w pewnej chwili wartość r. równą a m/.s.

Rys. 7.14. Przykład 7 10. Na pudełko. ślizgające się tvz tarcia po podłodze w prawo tl/ialają dwie siły: Aj i Aj. Prędkość pudełka wynosi r

at Ile wynosi u (ej chwili m«H pochodząca »>d każdej z sił oraz moc całkowita? Czy moc całkowita zmienia sic w tej chwili?

ROZWIĄZANIE:

O t 1. Mamy wyznaczyć muc chwilową, a nie moc średnią w pewnym przedziale czasu. Znamy prędkość cząstki (a nic wykonaną nad nią pracę). Możemy zatem dla każdej sity skorzystać z równania (7.47). Siła A, tworzy z prędkością v kąt <]>\ - 180? wobec czego:

Pt = A', u cos./., _= (2 N)(3 m/s) cos 180 = 6 W.

(odpowiedź)

Wynik (en Oznacza, ze sda Aj odbiera energię od pudelka z szybkością 6 J/s.

posu

P-.F-v “silą A. tworzy z prędkością r kat »/.. = 00 . zatem:

/’; “ Ajreoś</». = (4 \)(3 m/s)cos60 r= (, W . („J_P«wiedź)

len wynik oznacza, że siła A* dosinreza energię pudelku / s*vt>. kością 6 J/s.

0    » 2. Całkowita moc jest sumą mocy jKichncI/ących od po-szczególnych sil;

t\.,tv = !\ + Py = t—6 W) HA W) a» 0. (odpowiedz.) co oznacza. ze sumarycznie żadna energia nic jest ani dostar* cz.ana pudelku, ani odbierana od niego, [alergia kinetyczna pudełka </:_k - lwu²) nic ulega zatem zmianie, a więc nic zmienia się także prędkość pudelka. Jak widać / rów nania (7.48>. jeśli siły A| i I-. a także prędkość T> pozostają stale, to stałe są moce /j

1    P'. a zatem i moc całkowita P„,&.

lo Ile wynosiłaby moc wypadkowa i czy zmieniałaby się ona. gdyby sda A; wynosiła 6 N?

ROZWIĄZANIE:

Postępując analogicznie, jak w^f punkcie ta), otrzymujemy:

P, = Ajrcos</*_• = (6 N)(3 m/s)cos60 = y W.

Moc. związana z. działaniem siły Aj, nadal wynosi t\ = -6 W. a zatem moc całkowita jest tetuz równa:

/cali = P\ + Pi - (" 6 W) + (9 W) = 3 W. (odpowiedź) co oznacza, że sumarycznie pudełko zyskuje energię. Wobec tego energia kinetyczna pudełka wzrasta, a zatem wzrasta i wartość jego prędkości. Skoro rośnie prędkość, to — jak widać z równania (7.48) - zmieniają się wartości /j i P₂. a zatem równic/, wartość P_c,.i_k. lak więc. otrzymana przez nas wartość mocy całkowitej.

3 W. odnosi się jedynie do tej chwili, w której prędkość pudełka ma wartość 3 m/s.

kinetyczna Energia kinetyczna A._k. związana / ru-Acm cząstki o masie nt i wartości prędkości v. pizy czym »»jest bacznie mniejsze od prędkości światła, wynosi:

/T_k — ' »!»«•' (energia kinetyczna).    (7.1)

f^ico Praca W jest to energia przekazana ciału łub od niego odebrana za pomocą działania na ciało siłą. Gdy energia jest Pokazana ciału, praca jest dodalnia. a gdy energia jest odebrana ciału. pr«cu J^esl ujemna.

Praca wykonana przez siłę stałą Praca wykonana nad cząstką prze/ siłę stalą A'. |>odc/a\ gdy c/.ąsika doznaje przemieszczenia d, jest równa

W = Fdcos(/) -- F ■ d (praca wykonana przez silę stalą)

(7.7. 7.8)

przy czyni jest siały ni kątem międ/y kierunkami wektorów A' i (I. Pracę nad ciałem w y komijc jedynie składowa siły A*, skierowana wzdłuż kierunku pr/emies/c/enia d. Gdy na ciało działa w ięcej ,i,ż jedna sda. całkowita praca wykonana nad ciałem test .Minią prac wykonanych przez poszczególne siły. Jest ona także równa pracy wykonanej nad ciałom przez wypadkową A\_vM> tych sił.

Praca a energia kinetyczna /.miana energii kinetycznej AA.'_k ciała jest związana z całkowitą pracą wykonaną nad tym ciałem, następującą zależnością:

A/:_k -- A,'_k “ Pkt*Kr = ^w    0.10)

pr/.y czym /:'_k,_KW jest pix.v.ąlkową energią kinetyczną ciała, a Eu**- —energia kinetyczną ciała po wykonaniu nad nim pracy. Równanie (7.10) można również zapisać w postaci:

Ej, i.nHi' • ■ A._k p,_V/ 4* IV.    t7.11)

Praca wykonana prz.cz siłę ciężkości Praca N ._: wykonana mul ciałem o masie ni przez siłę ciężkości A? w czasie, gdy cząstka doznaje przemieszczenia d. wynosi:

Vt g = mgd cos 0.    (7.12)

przy czym <f> jest kątem między Aj. i d.

Praca wykonana przy podnoszeniu i opuszczaniu ciału Praca Wicwn wykonana przez, silę zewnętrz.ną prz.y podnoszeniu lub opuszczaniu ciała <> właściwościach cząstki jest /.wiązana z pracą Wf, wykonaną przez silę ciężkości oraz. zmianą energii kinetyczni A/f_k ciała, zależnością:

A At = £_k loń. - A-i- = M'_/cwn + W_v. (7.15)

Jeśli energia kinetyczna ciała na początku jego przemieszczenia jesl równa energii kinetycznej na końcu przemieszczenia, to równanie (7.16) upraszcza się do posiaci:

W,cwn= *■%.    (7.16)

z. której widać, że energia dostarczana wówczas ciału przez, silę zewnętrzną jest równa energii odbieranej od ciała przez silę ciężkości.

Siła sprężystości Siła A wywierana przez, sprężynę wynosi:

F    -kd    (prawo llookc’a).    (7 2<ii

przy czym d jest pr/cmics/e/.enie.m swobodnego końca sprężyny, tul jego położenia dla sprężyny nieinlkszlakouej tlo znaczy takiej, która nie jest ani ściśnięta, ani rozciągnięta), a k stalą sprężystości (będącą miarą s/lywnośei sprężyny). Jeśli wybierzemy oś i równoległą do długości sprężyny, u jako jej początek pjyyj-iniemy polo/eme swobodnego końca sprężyny nieodks/taleonej to równanie (7.2(>» przybiera posiać:

A i= -Av    (prawo Mooke a).    (7.211

Siki sprężystości icst zatem siłą zmienną, gdyż zniczy od poło/c nia swobiKluego końca sprężyny.

Praca wykonana przez silę sprężysfnści Piata W\ wykonana przez, silę spję/ysiości nail ciałem przymocowany m do swobodnego końca sprężyny, prz.y przemieszczeniu ciała z położenia początkowego V,**, tlo połoz.enia końcowego awynosi:

(7.2M

Jeśli t.,„ —• 0. a iv,„_t = a. io równanie (7.26i przybiera postać: (7.2(0

j

Praca wykonana ptzez siłę zmienną Gdy siła A‘ działająca na ciało właściwościach cząstki zależy ud położenia ciała, praca wykonana przez tę silę nad ciałem w czasie jego ruchu z punktu początkowego r_|MV. o współrzędnych, i v_|łiW. v_ps/, j do punktu końcowego r|,.„ o współ rzędnych t    v_k.,_K..    ) musi być wy

znaczona przez całkowanie siły. Jeśli założymy, że -.kładowa A. może zależeć od v. ale nie od y ani składowa A', może zalcż.cć ixł v. ale nic «xł a ani :: a składowa /'. może zależeć od :. ale nie od .v ani \. to praca jest równa:

Oa-r.    ^łC»K    '!.•*-    I.x.

^;»xv    '(■.V    *|»s/    •(>'/

Gdy siła F ma tylko składową.v. równanie (7.36) sprowadza sic do:

u = I F[\

)dv.

(7.32)

160

7. Energio kinclyczno i praca

Podsumowanie

161