4555

137

137

Geometrio analityczna w przestrzeni

z e= -2-2t, y = 4 + 5t,

, «6 + i,

f i"-²'

ł ł^'¹'

I <w6 + 5t.

gdzie ł € fi-

Kierunkowe równania prostych I i / maił l^)<wllac

I:

1 0 1 -1

= 2?+2j-fc.

21, gdzie t € fi-

I:

d)    proste łi oraz /j mają punkt wspólny, jeżeli:

M

e)    prosta

€»

1J6

Lni! oii«cMc ^ktorytrunkowe tyd, dwusiecznych mają »<*M •’ « (0, -1,5) ora, t' a (*],S, 1) otrzymamy    ^^

gdzie tg/* otu I :

SHMi &    ;-m

S szukanej prostej /jest prostopadły do wektorów », i n_a, a zatem bądz.c miał po*UĆ 8«ć(«iX nr), gdzie c f 0. Przyjmując c = 1 otrzymamy

p= iii x = (1,0,2) X (1,—1,0)

Potrzebny jest jeszcze dowolny punkt P należący do prostej /• Punkt ten wyznaczymy * układu równań    ,

r* +2x m ę.

Przyjmując np. x - 0. otrzymamy y = 6 oraz r = 2. Zatem P =» (0,6,2). Równanie parametryczne prostej I ma więc postać

( x=2f.

< * = 6 + 2 l - = 2 - r

Równanie kierunkowe tej prostej ma postać

*a y-6 _ i - 2 ■ 2    2    “ -t

Przykład 12.6 Zbadać, czy

a)    punkty --1 = (1,-2,5), B = (3,-2,11) należą do prostej

/. lzl_» + 2    2-5

-l 0 “ -3 '

b)    prosu

i

^I:\y--2l, gdzie t € R

[ * = 3 + 31,

jest zawarta w płaszczyźnie t : 3x + 3y + , - 6 - o_;

Dwunasty tydzień - przykłady

c) punkty A ~ (0,0,0), B * (0, —1,3) należą do płaszczyzny

[ i= l + *-l,

i Hi4-2i^s+2ł* ^sdzic *■*^c$

V * ='*.    H r *=-i₊,

^8<,Zic *% * H ^{y = 2}“^ł- 8«e._eJł;

l * = 3t,    k - = -3 + 4s,

i. ^x + ⁵ _ V z-3

-2 T“ -1

jest równoległa do płaszczyzny * : z + y - z +16 s 0;

( x = -5 + t.

f) płaszczyzny »i : 2r + 3y-5z+30 = 0, »j : < y = 2 + 5s+(, gdzie s,t

l * = l + 3s + l,

są równoległe.

Rozwiązanie

a) Równanie parametryczne prostej ł ma postać

(x,».*)=*(!-«.-2.5-31).

gdzie I € fi; Din f = 0 otrzymujemy punkt A, zaś dla t = -2 punkt B. Oba punkty należą więc do prostej.

b) Podstawiając przedstawienia parametryczne współrzędnych prostej

[ x®l + t,

I: < y * -2*. gdzie t € fi l * *3 + 31,

do równania płaszczyzny ir: 3r + 3y + ż- 6 = 0 otrzymamy, że równość 3(1 + t) + 3(-2t) + (3 + 31) - 6 = 0 jest prawdziwa dla każdego t € fi- Oziucra to, żc prosta / jest zawarta w płaszczyźnie *.

c) Podstawiając współrzędne punktu A = (0,0,0) do równania parametrycznego płaszczyzny

( ibI+j-1^

w : < ya»-3-a + 2ł, gdzie s,t€ fi, l *w4-2t».-|

otrzymamy układ równań

{ s-2i = -3,

lig 2t =

Rozwiązaniem tego układu jest para s = 1, I = 2. Oznacza to. że punkt /t należy do płaszczyzny *. Postępując podobnie z punktem B, otrzymamy sprzeczny układ równań.