53(1) 2

5. CIĄGI LICZBOWE

Kino Nonstop czynne jest całą dobę. Za oglądnie pierwszego filmu trzeba zapłacić 15 zl. a za i dego następnego o 2 zl mniej niż poprzedniego. Czy 100 zl wystarcz)' ci, aby obejrzeć 8 filmów?*

Rozwiązanie:

Kwoty, jakie trzeba zapłacić za oglądanie kolejnych filmów: 15.13,11.9.....są wyrazami ciągu

arytmetycznego, w którym a, = 15, r =-2. Należy obliczyć sumę 8 początkowych wyrazów tego cia

Obliczamy ostatni składnik sumy - wyraz a_r Korzystamy ze wzoru na /My wyraz ciągu arytmetycznego a_n = a, + (/i - 1) r.

tf,= 15 +(8- I) • (-2) a_t= 15 - 14= 1

Korzystamy ze wzoru na sumę $ - JA±_L g n wyrazów ciągu arytmetycznego ,. _ o ~o _ a+a    10

Za obejrzenie 8 filmów należ)' 64 < 100 zapłacić 64 zł. a więc mniej niż 100 zl.

Odpowiedź: 100 zł wystarcz)', aby zapłacić za obejrzenie 8 filmów.

ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI

Trzy liczby, z których każda jest różna od 0 i których suma jest równa 35. tworzą rosnący ciąg gc< ny. Te same liczby w tej samej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu a ryt met Wyznacz wzór danego ciągu geometrycznego.

Rozwiązanie:

Każdy wyraz ciągu geometrycznego (oprócz pierwszego) powstaje z wyrazu poprzedniego, poprzez | pomnożenie przez pewną liczbę, zwaną ilorazem ciągu.

Korzystając z tego faktu, zapiszmy trzy kolejne liczby, tworzące ciąg geometryczny.

a - pierwsza liczba aq - druga liczba aq'~ - trzecia liczba q - iloraz ciągu

Pierwsza z tych liczb jest zarazem pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego, druga drugim wy

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (oprócz wyrazu pierwszego) powstaje z wyrazu go poprzedzaj poprzez dodanie pewnej liczby, zwanej różnicą ciągu.

Różnicę tę można obliczyć,    r - różnica ciągu arytmetycznego

odejmując dwa kolejne wyrazy r - uq - a ciągu (od drugiej z liczb odejmiemy pierwszą).

^ E_haicsic^^v;ltl>'^,n

^e«^^nK,,''^/l,-^SO' ^iv^:/c^^{ru |,a,My}

^K' ^uaryt^,11clycznCg0‘

^tę

j,^s °i'

podzielić °bic strony ^N!^S^ez ^.bozgodnie

Streścili udania tf^⁰-^•^jemy otrzymane

gnanie kwadratowe.

SŁy wyróżnik. pwnv.astki. Gągma byirosnący. zM^m „.I

Suma rozpatrywanych liczb ma

być równ3 35 i q = -•

aq' = a + (4 - 1 )(aq - a)

<u/' = a + 3 (aq - a)

*

aą =a + 3aq - 3u (iq ’ = 3aq — 2a |: a q~ - 3<y + 2 = 0

A = 3²-4 I 2 = 9-8= 1>0

.- 3- 1 _    _3 +I _

r/i 2    ’    2

a + aq + aq‘ = 35 a + 2 <i + 4a = 35 la + 35    |: 7

o = 5

Zapisujemy wzór określający (o,) - rozpatrywany ciąg geometryczny

ciąg geometryczny: u = a_t </

0=5-2

Odpowiedź: Ciąg geometryczny (o ) określony jest wzorem o_n = 5 2

» - i

Cyfry puwnej liczby trzycyfrowej ,v tworzą w kolejności: cyfra setek, cyfra dziesiątek, cyfra jedności, trzywy-^wy ciąg geometryczny. Jeżeli od liczby .v odejmiemy liczbę trzycyfrow ą zapisaną za pomocą tych samych ey r. ale w odwrotnej kolejności, to otrzymamy 594. Znajdź liczbę .v.

^“^tązanic:

^«ha trzycyfrowa x składa się dziesiątek i <■ jedności, psujemy ją W postaci sumy.

J ta setek liczby trzycyfrowej ^n,c mozc być rów na ().

2^P'5^ncjpomocą

^{alc u <Klwro,ni}-'i

^(łziesb, .?r^,ck c-•^O^rątck k, cyfrą jedności

^{1 llc/l}’> ^/-^lpisanej * * OdWr₍l^Kh-?^n,yCl' ^C>^fr-

^r®^na-S94 ^,lC^ ^ko*^cjⁿ°ści. jest

n!^{IC/h ,,,,ur;i|}nycłi

a - cyfra setek liczby x b - cyfra dziesiątek liczby x c - cyfra jedności liczby x

a. b, c e {0.1.....9}ia?t0.c#0

x = lOOr/ + 10Z> + c

lOOc + 10 b + a- liczba zapisana za pomocą tych samych cyfr. w odwrotnej kolejności

lOOtr + IOź> + r - (lOOc + 10/^ + «) = 594 I00« + I0/> + r - lOOc - 10Ó - a = 594 99a - 99r = 594    | : 99

a - c = 6

a = 7. c = I lub a = 8. c = 2 lub a - 9, c = 3

te