6 (26)

99

Zadania

■tai »xa; przykład 5.18.) fc-tazówka

/W _ j/(x) J X ₊₁ X g(x) i x j s(x) g(x)

iJtc* :~*'»ae twierdzenie 5.13 do części rzeczywistej i urojonej ułamkówf(x)/x i g(x)/x.

dziale (a, b). Niech g

ograniczona (przyj* ć mała, lo funkcja / •ości tylko od M.)

11. Przypuśćmy, że/określona jest w otoczeniu punktu x i/" (0) nie istnieje. Wykazać, że

J\x+h)+f(x— h)~ 2f(x) lun —-rj-«-= / (x).

h-m    n

mnożąc na przykładzie, że powyższa granica może istnieć nawet wtedy, gdy/"(x) nie istnieje.

■Wskazówka. Wykorzystaj twierdzenie 5.13.

li Niech /(x) = Jgjj*. Obliczyć/'(.x ),/"(*) dla wszystkich x rzeczywistych i pokazać, że /"'(O) nie istnieje

13.    Niech a i c będą liczbami rzeczywistymi, c > 0, i niech/będzie określona na <— 1,1) wzorem

(x“sin(x“^c)    (dlax ^ 0),

⁼ |o    (dla x = 0).

lo: * od nić, że:

ai / jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy a > 0; bi /'(0) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy a > 1;

c)    /' jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy a > 1+c;

d)    /'jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy a > l+c;

x)-»0 przy x-*+ co.

e)    /"(0) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy a > 2+c,

1) f" jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy a ^ 2+ 2c; g) /"jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy a > 2+2 c.

14.    Niech/ będzie funkcją różnićzkowalną określoną na <u, h). Udowodnić, że/jest wypukła wtedy i tylko

•tedy, gdy f rośnie monofonicznie. Zakładając, że f"(x) istnieje dla wszystkich xe(a, b), wykazać, że na to, aby / ryła wypukła potrzeba i wystarcza, aby /"(x)    0 dla xe{a, b).

15.    Niech a e R' i niech / będzie dwukrotnie różnićzkowalną funkcją rzeczywistą określoną na (a, oo). Oznaczmy przez M₀, M, i M₂ odpowiednio kresy dolne |/(x)|, i/'(x)| oraz |/"(x)| na zbiorze (a, oo). Udowodnić, że

M\ < 4 M₀M₂.

Wskazówka. Jeżeli h > 0, to z twierdzenia Taylora wynika, że przy pewnym £ e (x, x+2h) jest /'« = ^U(x+2h)-f(x)]-hf"(i).

Zatem

/'(x) < hM₂+^ n

Aby pokazać, że równość Mf = 4 M₀M₂ może być spełniona przyjmijmy a = — 1 i określmy

{2x²-1    (-1 < x < 0),

saina na <o, fc), jeśli/’ I/ (z) dla dowolnych PUX/M-+o, g{x)->'0,

*^J-i    **

JRf (°<*<oo)

i pokażmy, że wtedy M₀ - \,M, - 4, M₂ = 4.

Czy nierówność Ml ^ 4M₀M₂ zachodzi też dla funkcji wektorowych?

16. Niech / będzie dwukrotnie różnićzkowalną na (0, co\f" ograniczona na (0, oo) i /(x)-*0 przy x-*oo. Udowodnić, że/'(x)-» 0 przy x-»oo.

Wskazówka. Przejść z a do oo w zadaniu 15.

17. Niech/ będzie funkcją rzeczywistą trzykrotnie różnićzkowalną na odcinku <-1,1> taką, że/(-1) = 0,/(0) =s = 0,/(l) = l,/'(0) = 0. Wykazać, że/<³>(x) > 3 dla pewnego x e (-1,1).

7*