8 5

Ro7.fl/Aal 10.

/(*)

lim ^P(^x<X <^x + ^Aj) A*-* o    Az

(10.9)

Dokładna więc definicja gęstości prawdopodobieństwa oparta jest na powyższym wzorze.

Zgodnie 2 tym: gęstość prawdopodobieństwa jest granicą ilorazu prawdopodobieństwa, że zmienna losowa ciągła przyjmie wartości leżące w danym przedziale do długości tego przedziału, gdy Jego długość dąży do zera.

Jak wynika z wzoru (10.9), gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X można zinterpretować jako średnią wartość prawdopodobieństwa przypadającą na jednostkę długości przedziału (.r, x i-Ar), gdy długość tego przedziału dąży do zera. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość 7. przedziału (a, ft)    skończonego lub nieskończonego -jest równe

całce funkcji gęstości prawdoj>odobieństwa w tym przedziale.

A zatem:

b

P(n < x < b) « j f(x)dx    (10.10)

Z równania 10.10 wypływają następujące wnioski:

1. Jeżeli b —* o, wówczas otrzymujemy

a

P(X - a) = J f(x)dx = 0

41

Nie oznacza to jednak, że zdarzenie jest niemożliwe, lecz że jest ono bardzo mało prawdopodobne.

2. V. kolei prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ciągła X przyjmie dowolną wartość x, oprócz x a jest. równe jedności, chociaż zdarzenie to nie jest pewne.

. Rozkład normalny

Zmienne losowe ciągłe mogą mieć różne rozkłady. Największe znaczenie posiada jednak rozkład normalny. Badania nad nim sięgają XVIII w. i związane są m.in. z dociekaniami nad błędami pomiarowymi.

Stwierdzono, że rozkład wyników powtarzanych pomiarów można dość dokładnie aproksymować krzywą określonego kształtu rozkładu ciągłego, nazwaną krzywą normalną błędów, i powiązać ten rozkład z działaniem praw przypadku.

lfM

Matematyczne właściwości tego typu rozkładu ciągłego oraz podstawy teoretyczne badali Pierre lepiące (1749-1827), Abraham de Moivre (16G7-1745) i Carl Gauss (1777-1855).

Krzywa rozkładu normalnego jest wykresem gęstości prawdopodobieństwa /(z).

Istotna cecha rozkładu normalnego polega na tym, że można go w sposób całkowity określić przez średnią n i odchylenie standardowe o. Wielkości te nazywamy parametrami rozkładu.

Jeśli zmienna losowa X posiada rozkład normalny, wtedy gęstość jej prawdopodobieństwa wyraża wzór:

^{r(x, =} 7j%'^e~^~    ^(10u)

Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym z parametrami p i er stosuje się oznaczenie Af(p,<r), tak więc zapis .V(3, oznacza, że zmienna losowa X ma rozkład normalny o średniej p -•= 3 i odchyleniu standardowym cr = 5. Zmiana parametru p przemieszcza krzywą wzdłuż osi odciętych, natomiast parametr a powoduje spłaszczenie (przy większym o) łub wyostrzenie krzywej (przy mniejszym o).

10.6. Dystrybuanta zmiennej losowej X

Dystrybuantą zmiennej losowej A' nazywamy funkcję /''(z), której wartości równe są prawdopodobieństwom, że zmienna losowa X nie przekroczy wartości x:

F(x) = P(X<x)= J f(u)du    (10.12)

-oo

Z powyższego wzoru wynika, że

(ia.i3)

Wzory (10.12) i (10.13) wskazują, że znając dystrybuantę można wyznaczyć funkcję gęstości, i odwrotnie.

Wykres (a) na ryc. 10.3 przedstawia wykres funkcji gęstości, natomiast wykres (b) — funkcję dystrybuanty. Z wykresu dystrybuanty można odczytać prawdopodobieństwo określonego zdarzenia. Np. P(xy < X < zj) = P(*3) - F(X₃).

105