Capture089

..n.l-.rdowc lub błąd standardowy lego teorctyc/nce.. - ,

su «»* -

dardo w e można otrzymać bezpośrednio ze wzoru:

/fl( |- 0) N_r - N

n -*■ % i ' ■*

N

iV_r-l

Hi

w oowvMzvm przykładzie 0 = 0.50. ponieważ 3 z 6 kul s., czarne

¹ - ■    '    -    ...... 6 i N = 3. St.jd

naści populacji i próby wynoszą odpowiednio N_r

/o.5 x0.5 6-3

^cr“V" 3

''•'Al

6-1

= 0.2246.

co jest zgodne z wartością otrzymaną z obliczenia bezpośredniego

Omówiona iu sytuacja dotyczy pobierania prób bez zwracania / popa u , - • czonci. Tak samo jak w przypadku średniej arytmetycznej, człon (t\_p - A i/i \ we wzorze (9.4) zbliża się do jedności dla dowolnej wartości skończonej A .. - j i ik N zbliża się do nieskończoności. Zatem człon ten można uważać / jedności dla populacji nieskończenie wielkiej. Otrzymujemy więc następu . Iczność:    — ~ ~ ~ ~

-0)

która jest wzorem na błąd standardowy proporcji w przypadku pobierana i bez zwracania z populacji nieskończenie wielkiej.

Wzór (9.5) można otrzymać, posługując się dwumianem. Jeżeli propw, .. nych kul w populacji wynosi 0. to oczekiwany lub teoretyczny rozkład / :• lichy czarnych kul w próbach o liczebności N, w odróżnieniu od prop. r, kul. wyrażają człony rozwinięcia dwumianu |0 + (I - 0))^v. Średnia i od,: standardowe tego rozkładu wynoszą odpowiednio M) i \M)(1 - 0). Interesu;: , ro/klad proporcji, nic zaś liczby czarnych kul w próbach. Aby otrzymać ock!v. j standardowe rozkładu proporcji, w odróżnieniu od liczby, czarnych kul w pm\..' \ liczebności N. mnożymy V/V0(1 -0) przez IW i otrzymujemy a_;. = \'t)(l a j czyli to sarno, co we wzorze (9.5). Rozpairzmy przykład. Niech 0 = 0.25. a 1 ■

= 0.75. Oczekiwany rozkład liczby czarnych kul w próbach 10-elemeniowut. mujemy przez rozwinięcie dwumianu (0.25 + 0.75)¹⁰ Średnia w tym przy k»._;: wynosi 10 x 0.25 = 2.5. a odchylenie standardowe V10 x 0.25 x 0.75 - 1,3' ft: chylenie standardowe rozkładu proporcji czarnych kul w próbach 10-elcmcnt■ \.: Otrzymujemy, dzieląc 1.37 przez 10. co daje 0.137

We wzorach (9.4) i (9.5) zakłada się. ze 0 jest znane. W praktyce 0 jesi »./<• nieznane i jako oszacowanie 0 wykorzystuje się wartość z próby p Równic, definicji I - p = g. Stąd często stosowany wzór na oszacowanie błędu dardowego proporcji przy założeniu populacji nieskończenie wielkiej:

(9 Al

V N

Zwróćmy uwagę, źc wzory przedstaw*** w ,_Vm 04 notoM* o dwóch Mfiidnli _t0v ^    '"***”* ram

, „ o elementów paw tą kateforią. By_w demem™ *"* * ***** ****«"• »

wad >• ^a "*^b>^uc    pkn 0 Średnia i*    *•*> «**>•

k« vundmh*wc >WT- 8, Tak *,«    *T«* »• - 'Ochy-

pnipcrcji v| szczególnym, przypadkom, wmt^ nj _<rrdł)ir ^ “j**^{1 kUnrfjnk}^> cńlnym przypadkiem w//mi (9 I). a _W/ńr (9 5, s^,,._iynvm „ ^,94» **

^C?u,ny^m spadkiem w/oni ,9.2|.

9.8. Rozkład z próby różnic

z pewnych wagWńw czasem bywa p«r«bns m,ku) ,    _r,₁₍„    .    .

«“ "*y«y^Un" “ "”>^k“ M/mey nu«d/y d»«nu „cdn.m, ^ś', tawerna proporcjam, Rozumu dl. pr/slUfa rń,„,_t    L7

mmi arytmetycznymi Przyjmijmy, że mamy do czy niemo , 11    ^

nieskończenie wielkim,, których średnic są jednakowe c/vl. u*”* hęto *«">* * P"*V o liczebności N, przypadki UX, u *    *

populacji, a *: *d* , próby o bczdS .V, pnCtow Zl', T'"' popuhcji. Różnica między tymi średnimi wynosi - f Poou^?*^ ^<*^łpej

*• »**T^kKm t ^pr"^{h> w} -»*>«*'.■

par prób i obliczyć rozkład liczebność, rozrnc Rozkład lak, .mmi* uk r _/nł niKdzy średnim, pobranym, losowo z dwóch populacji, dla ktooch Z i _M ^ niają się w powtarzanych próbach.    *

Na podstawie tego rozkładu możemy oszacować prawdopodob.cns,...........

mama dowolnej określonej różnicy przy losowym pobieraniu prób / po_PU|ac„ dla których Mi - Mj Analizując nieskończenie wielka liczbę par pruh otr/vmmcmv teoretyczny rozkład z próby różnic między średnimi z prób W te, sytuacji pojeds n cze pomiary w dwóch populacjach mc Stanowią pa, Próby te v, n.e/ale/ne Średme * połączone w pary losowo. Między param, średnich me nu żadne, korelac,, Wanancja rozkładu /. próby różnic określa, jak rozn.ee te zmieniają „ę w powtarzanych próbach Rozważmy przypadek prób niezależnych Jeżeli (Ti =ofW, jest wariancją rozkładu z próby średnich pobranych / ,cdne, populacji.

a 0* = ol/Ny Odpowiadającą jej wariancją z drugiej populacji, to wananc,a rozkładu i próby różnic między średnimi jest sumą tych dwóch wariancji Tak więc

<T* ; = O; + O; *1 ^ł, *1    *;

<*1.0! -V, .V;

(9.7)

Gdy oj = m = o^:. czyli gdy wariancje w obu populacjach są sobie równe, możemy napisać:

(9.8)

°vs ^{= o2}(;v,^ł/v_:)-

177