metody14

D(x) - błąd standardowy szacunku, n - liczebność prćby,

s(x) - odchylenie standardowe populacji generalnej, a gdy nie jest ono znane, można wprowadzić 6(x), ożyli odchylenie standardowe próby.

Przedziałowe szacowanie średniej opiera się na formule:

p(x -    < X < 5E + Z*    « 1 - &    (6,104.)

\ y_n    /

Przykład. Z populacji o rozkładzie normalnym wylosowano 100 studentów - mężczyzn. Średnia ich waga wynosiła 70 kg. Odchylenie standardowe całej populacji wynosi S(x) * 12 kg. Należy oszacować średnią wagę studentów w oałej populacji.

Punktowo:

x = 70

D(x) =

1,2

X = 70 t 1,2

Średnia waga całej populacji wynosi 70 kg z błędem - 1,2 kg. Przedziałowo przy założeniu c< = 0,01 i = 2,581

PwO - 2,58- ~~ <X < 70 + 2,58 -    j_a 1 - 0,01

^x    -/1 oo    yioo'

P (66,904 < X < 73,096) * 0,99

Z prawdopodobieństwem P = 0,99 stwierdzić można, że średnia waga całej populacji mieści się w^granioach około 67-73 kg. Oszacujmy teraz dla tego samego przykładu średnią wagę przy zmienionym poziomie C<, a mianowicie c< = 0,10 i = 1,64:

P(68,032 < X< 71,968) * 0,90

Jak więc widaó, przedział ufności jest mniejszy, szacunek zatem dokładniejszy, ale jego pewność (prawdopodobieństwo) mniejsza.

Obliczanie błędu Dpć) na podstawie wzoru 6.103. Jest właśoiwe dla tzw, losowania niezależnego;(tzn. po wylosowaniu element wraca do zbiorowości - w ten sposób każdy element ma zawsze takie same szanse wylosowania). Ponieważ najczęściej mamy do czynienia z losowaniem zależnym Ctzn, po wylosowaniu element nie wraca do zbiorowości, zwiększając w ten sposób szanse wylosowania pozostałym elementom), podany sposób obliczenia d(x ) należy nieco zmodyfikować. Dla prób zależnych zatem

S(X) /N - n'

~fn ’T ^N ~ ¹

(6.105.)

lub dla dużej liczebności populacji generalnej

(6.106.)

Opisany sposób szacowania średniej Jest właściwy populacji o rozkładzie normalnym (lub zbliżonym), przy znanym s(x) i dużej lub małej próby - dla dużej próby zamiast S(x) może być 6(x). Gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym, ale małą próbą (n^ 30) i - co najczęściej ma miejsce - nie znanym odchyleniem standardowym całej populacji, wówczas musimy wykorzystać rozkład t-Studenta. Przedział ufności dla średniej arytmetycznej populacji szacujemy wówczas:

p4 - t, •    < X < £ + t •    « 1 - <*    (6.107.)

\    * V7TT    * -ynTT/ -

gdzie:

- odczytana z tablic wartość t-Studenta dla danego poziomu CX' i dla n - 1 stopni swobody,

6(x) - odchylenie standardowe próby.

Przy szacowaniu tym sposobem średniej punktowo błąd szacunku oblicza się ze wzoru:

standardowy

¥

d(x) - -fei

(6.108.)