metody14

) - błąd standardowy szacunku, n - liczebność próby,

s(x) - odchylenie standardowe populacji generalnej, a gdy nie jest ono znane, można wprowadzić 6(x), ożyli odchylenie standardowe próby.

Przedziałowe szacowanie średniej opiera się na formule;

^ < X < 5 + ą

in

* -fi?)

(6.104.)

7^

Przykład. Z populacji o rozkładzie normalnym wylosowano 100 studentów - mężczyzn. Średnia ich waga wynosiła 70 kg. Odchylenie standardowe całej populacji wynosi s(x) * 12 kg. Należy oszacowaó średnią wagę studentów w oałej populacji.

Punkt owo;

1 - c<

x = 70

X = 70 t 1,2

Średnia waga całej populacji wynosi 70 kg z błędem - 1,2 kg. Przedziałowo przy założeniu c< =■ 0,01    1    = 2,58:

PwO - 2,58-    <X < 70 + 2,58-    * 1 - 0,01

^N    -/lOO    -yl 00'

P (66,904 < X < 73,096) = 0,99

Z prawdopodobieństwem P = 0,99 stwierdzió można, że średnia waga całej populacji mieści się w granioach okołoj57-73 kg. Oszacujmy teraz dla tego samego przykładu średnią wagę przy zmienionym poziomie C<, a mianowicie o< = 0,10 i = 1,64:

P(68,032 < X< 71,968)= 0,90

Jak więc vddać, przedział ufności jest mniejszy, szacunek zatem dokładniejszy, sile jego pewność (prawdopodobieństwo) mniejsza.

Obliczanie błędu d(x) na podstawie wzoru 6.103. Jest właściwe dla tzw. losowania niezależnego ;(tzn.po wylosowaniu element wraca do zbiorowości — w ten sposób każdy element ma zawsze takie same szanse

wylosowania). Ponieważ najczęściej mamy do czynienia z__losowa.nl em

zależnym (tzn. po wylosowaniu element nie wraca do zbiorowości, zwiększając w ten sposób szanse wylosowania pozostałym elementom), podany sposób obliczenia d(x ) należy nieco zmodyfikować. Dla^prób zależnych zatem

S(X) /N - n

yf T~

(6.105.)

lub dla dużej liczebności populacji generalnej

ECO = ^    “    (6.106.)

Yn »

Opisany sposób szacowania średniej jest właśoiwy populacji o rozkładzie normalnym (lub zbliżonym), przy znanym s(x) i dużej lub małej próby - dla dużej próby zamiast s(x) może być 6(x). Gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym, ale małą próbą (n^ś 30) i - co najczęściej ma miejsce - nie znanym odchyleniem standardowym całej populacji, wówczas musimy wykorzystać rozkład t-St_udenta. Przedział ufności dla średniej arytmetycznej populacji szacujemy wówczas:

1 -oC

(6.107.)

gdzie:

- odczytana z tablic wartość t-Studenta dla danego' poziomu (X i dla n - 1 stopni swobody,

6(x) - odchylenie standardowe próby.

standardowy

(6.108.)

Przy szacowaniu tym sposobem średniej punktowo błąd szacunku oblicza się ze wzoru:

d(x) = -Sil

4^-