Capture120

Wartei« X^ł można,*,

I k/cboości oczekiwane wynoszą 50 ortem i 50 rcs/ck v. następujący sposób:

O	c r>- E	[0 F)^3	U> - F\^3 I_jjf "
I 46	~SQ 17]	16	o,ń
54	SO *4	16	oj:
j r OM

Pr/.y r/ucaniu 100 monetami otrzymujemy dwie liczebności, jedn., j|_a drugą dla reszek. Liczebności te nie są «>d mcHic niezależne Jeżeli lu/cbn< ' wynosi 46. to liczebność reszek równa jest 100-46 = 54. Jeżeli lic/chnow wynosi 62. to liczebność reszek równa jest 100- 62 = 38 Jasne jest. /c _p ^ daną jedna z tych liczebności, druga jest określona. Tylko jedna / tych lic/cbnoć‘ może się swobodnie zmieniać. W tej sytuacji z wartością // związany jće. jrjf. stopień swobody.

Przyjmijmy, ze rzucamy 100 monetami po raz drugi, trzeci itd . otrzymuj* ntej wartości x^: Możemy przeprowadzić dużą liczbę prób i otrzymać duża liczbę k_oj. kład liczebności jest eksperymentalnym rozkładem z próby x^: pr/.y 1 stopniuj body Określa on zmienność w zakresie y} przy wielokrotnym pobieraniu prób | Przyglądając się temu ekspery mentalnemu rozkładowi z próby, możemy doknait oszacowania proporcji. ile razy. albo z jakim prawdopodobieristwem. w .mościć równe lub większe niż dowolna dana wartość pojawią się wskutek wahań zw,^. nych z pobieraniem prób przy I stopniu swobody. W naszym obecnym przykładne przyjmujemy oczywiście założenie, że monety są rzetelne.

Zamiast monetą, możemy rzucać 100 razy rzetelną kostką do gry otrzynk : liczebności zaobserwowane i oczekiwane, po czym obliczyć wartość / W izj sytuacji, gdy znamy dowolnych pięć wartości, szósta jest określona /. otrzymaną wartością y^: związanych jest pięć stopni swobody. Możemy rzucać 100 kostluri bardzo du/ą liczbę ra/y. przy każdej próbie obliczać wartość / i sporządzić ro/JJil liczebności. Ten rozkład liczebności jest eksperymentalnym rozkładem / próby / prn 5 stopniach swobody.

Teoretyczny rozkład z próby /' jest znany i na jego podstawie mo/nu s/*o-wać prawdopodobieństwa, bez skomplikowanej procedury eksperymentalnej, kurą przykładowo opisaliśmy wyżej Równanie x‘ jest skomplikowane i me podajemy go tutaj. Zaw iera ono liczbę stopni swobody jako zmienną. Znaczy to. ze dla każdej wartości df istnieje inny rozkład z próby

Na rycinie 13.1 przedstawiono różne rozkłady chi-kwadrat przy różnych wartościach lit Wartość / jest zawsze dodatnia, to wy nika / podnoszenia do kwadratu ióżjk między wartościami zaobserwowanymi a oczekiwanymi. x mo/c przyjmować wartoia od 0 do nieskończoności. Prawa strona krzywej jest asymptotyczna do odciętej łY/y

I stopniu swobody krzywa jest asymptotyczna zarówno do rzędnej, jak i do odciętej Rozkład x‘ wykorzystuje się w testach istotności w sposob w znacznej rmer/r taki sam jak rozkład normulny. rozkład i i rozkład F. Zakłada się hipote/ę zerową.

I.U. Rozkbd chi-kwudzai dl* 5-prncemowych i>bwjn'fw i «Jt» lótaycti 'M**¹ «*oł**t> <*g Comrll |«56i

_K między liczebnością™ zaobserwowanymi a oczekiwanymi mc ma żadne, ró/m-<v. Następnie oblicza się warte** X Jeśli wartość u jc»t równa lub w.ększu ,d bytyewi- wymaganej dla istotności na możliwym do przyjęcia poziom* pnj odpowiedniej liczbie df. to hipotezę zerowy się odrzuca Możemy wówczas noćrd/ić. Z< różnice między liczebnościami zaobserwowanymi a oczekiwanymi m ^lutnc i mc można ich wyjaśnić wahaniami związanymi z pobieraniem pmb jKiC« Dodatku podaje wartości X wymagane dla istotności na różnych pozio-nieb prawdopodobieństwa przy różnej liczbie df. Wartości krytyczne dla istotności w poziomic 5 i I procent przy df - 1 wynoszą odpowiednio 3.W , ó.m /*.*/> _to. tell I procent powierzchni pod krzywą przypada na prawo od rzędnych popro-*adzonych w odległości 3.84 i 6.64 wzdluz linii podstawowej od punktu początku-seto 0. Przy df - 5 odpowiednie wartości dla 5 i I procent wynoszą 11.07 i 15.09.

Tablica C w Dodatku podaje wartości krytyczne // dla 5 i I procent prze Jt (d I Jo 30. Wystarcza to w znacznej większości sytuacji spotykanych zazwyczaj » praktyce. Sytuacje, gdy X oblicza się na podstawie df > 30 są nieczęste Przy Jf > 30 wyrażenie ^2%² ->i2df - I ma rozkład z pn)hy zbliżony do rozkłada numialncgo. Wartości lego wyrażenia, wymagane dla istotności na poziomach i 11 procent, wynoszą 1.64 i 2.33.

To. co dotychczas powiedziano o //. sprawia niewątpliwie wrażenie, ze / |N W istocie statystyką przeznaczoną wyłącznie do porównywania liczebności /.obserwowanych i oczekiwanych. W rzeczywistości rozkład x jest rozkładem Mistycznym 0 bardziej ogólnym charakterze, a jego wykorzystanie do badanu liczebności stanowi tylko jedno z jego zastosowań ujęciu bardziej ogólnym X dńiiuuje się jako sumę kwadratów odchyleń normalnych

Rozważmy populację o. średniej p, wariancji o' i rozkładzie normalnym wy ■Ww Y. Wynik standardowy pobrany z tej populacji równy jest : = O -Takie wyniki standardowe mają oczywiście rozkład normalny Możemy jednak po

237